ANNOTATIONES

(a) Duplex est comparatio. Nota comparationem multiplicem esse, Physicam scilicet, et Metaphysicam, sive Logicam. Comparatio Physica, de qua loquitur Aristoteles in isto 7. debet esse specifica specialissima specie : Metaphysica vero, sive Logica ea est, quae in aliquo communi ipsis comparatis sive communitas sit specifica, sive generica, sive transcendentalis ; et ratio hujus discriminis est, quia Metaphysicus abstrahit conceptus genericos, et universaliores a speciebus. Physicus autem non abstrahit a speciebus, sed a singularibus tantum. De hac secunda comparatione loquitur Scotus in hac quaestione. , ( ) Illius in quo aliqua comparantur. Nola, in omni comparatione inveniri id, quod comparatur, et id in quo fit comparatio. Ponit autem Aristoteles tres conditiones requisitas, ut aliqua proprie, ac vere comparentur in aliquo tertio. Prima est, ut illud tertium, in quo fit comparatio, debeat esse univocum ad ea, quae comparantur. Secunda, et illud ipsum debet competere illis per unum omnino susceptivum, ut si comparemus cygnum cum pariete in albedine,dicentes albior est pariete cygnus,

optima est comparatio, quia susceptivum albedinis immediatum est ejusdem rationis in utroque, est namque superficies : non dices tamen recte, clarior est aqua voce, quia claritas non inest utrique eadem ratione habens susceptivum. Tertia conditio, forma in qua fit comparatio, non solum univoca, sed speciei specialissimae debet esse. Tres istae conditiones servantur in comparatione Physica. ( ) De modis comparationis notandum, etc. Nota quod proportio est duarum quantitatum ejusdem generis certa unius ad alteram habitudo. In definitione ponitur habitudo pro genere, quoniam proportio est quaedam relatio ; at vero quia non est quaecumque relatio, sed ea tantum quae cernitur inter duas quantitates ejusdem rationis, ut inter duos numeros, aut duas lineas, ideo reliquae particulae loco differentiae ponuntur. In quibus particulis hoc est advertendum, quantitatem non accipi solum pro discreta, sed etiam pro continua ; loquimur enim modo tam de proportione Arithmetica, quae tantum cernitur in numeris, quam etiam de Geometrica, quae in magnitudinibus reperitur, imo sumitur etiam quantitas pro quantitate virtutis ; quia tamen certior, ac determinatior quantitas designatur in quantitate discreta ideo in illa proportione melius declarantur. Est autem duplex proportio : alia rationalis, altera irrationalis. Rationalis est, quae cernitur inter duas quantitates, quibus est communis aliqua pars aliquota, cujusmodi est inter omnes numeros ; omnibus enim est unitas tanquam pars communis et aliquota, quae videlicet aliquoties repetita reddit adaequata ipsum totum; et idem contingit in multis quantitatibus continuis, ut in linea quadrupedali, et bicupedali: pedalitas enim est pars aliquota utriusque, et perinde inter illas est proportio rationalis. Proportio irrationalis est habitudo duarum quantitatum, quibus non est aliqua communis pars aliquota, qualis est inter latus quadrati, et ejus diametrum. Haec autem proportio irrationalis reperitur solum in quantitatibus continuis. Hac autem relicta proportione, dividitur rursus proportio rationalis in proportionem aequalitatis, et inaequalitatis. Proportio aequalitatis est habitudo inter duas quantitates, quarum alteram neutra excedit, ut proportio binarii ad binarium, et cubiti ad cubitum. Proportio inaequalitatis est habitudo inter duas quantitates, quarum altera excedit alteram, ut inter binarium et ternarium, cubitum et tricubitum.

Proportio aequalitatis amplius dividi non solet. Sed proportio inaequalitatis dividitur in proportionem majoris inaequalitatis, et minoris. Proportio majoris inaequalitatis est proportio quantitatis excedentis ad illam, quae exceditur, ut ternarii ad binarium, et bicubiti ad cubitum. Proportio minoris inaequalitatis est proportio quantitatis, quae exceditur, ad illam, quae excedit, ut binarii ad ternarium, et cubiti ad bicubitum : ex quo liquet tot esse species majoris inaequalitatis, quot sunt minoris, et e contra. Explicatis igitur speciebus majoris inaequalitatis remanent explicatae species inaequalitatis minoris.

Rursus dividitur proportio majoris inaequalitatis in quinque species immediate, quarum tres priores sunt simplices, et duae posteriores compositae ex simplicibus. Proportio ergo majoris inaequalitatis, alia est multiplex, alia superparticularis; alia superpartiens, alia multiplex superparticularis ; alia multiplex superpartiens. Proportio multiplex est habitudo duarum quantitatum, quarum una continet aliam adaequate aliquoties, qualis est quaternarii ad binarium, et lineae quadrupedalis ad lineam bipedalem. Dividitur autem proportio multiplex in infinitas fere species, secundum quod reperitur infinitum in numeris : tot enim sunt ejus species, quot sunt species numerorum, a quibus illae denominantur. Si enim major quantitas bis contineat minorem, est prima species proportionis multiplicis, quae dicitur dupla, qualis est quaternarii ad binarium : si continet ter, erit tripla, et sic in infinitum. Proportio superparticularis est proportio duarum quantitatum, quarum major semel minorem continet, et unam ejus partem aliquotam, qualis est proportio ternarii ad binarium; ternarius enim continet binarium semel, et praeterea unum, quod est pars aliquota binarii: et dividitur in multas species, quae sumuntur ex alia, et alia parte aliquota. Si enim pars aliquota, quam continet major quantitas ultra minorem, sit dimidium ipsius minoris, est prima species hujus proportionis, quae dicitur proportio sesquialtera, id est, altera et semis, seu dimidium, cujusmodi est proportio ternarii ad binarium, et senarii ad quaternarium. Si vero pars aliquota sit tertia pars minoris, ita ut major quantitas semel contineat minorem, et praeterea ejus tertiam partem, erit secunda species, quae dicitur sesquitertia, qualis est proportio quaternarii ad ternarium, et octonarii ad senarium. Quod si pars illa aliquota, quam praeter minorem quantitatem major continet, sit quarta pars minoris quantitatis, erit tertia species, quae dicitur sesquiquarta ; qualem proportionem habet binarius ad octonarium, et sic in infinitum. Ex his sequitur, quod quanto proportio haec denominatur per vocabulum majoris numeri, tanto est minor, et quanto a minori est major, ut sesquialtera est major, quam sesquitertia, et haec, quam sesquiquarta, et sic in infinitum: quia magis excedit illa quantitas minorem, quae excedit in dimidio, quam quae excedit in tertia parte, et haec magis, quam quae solum excedit quarta parte, et sic deinceps: e contra vero se habet res in proportionibus multiplicibus ; major enim proportio est quadrupla, quam tripla, et haec, quam dupla; quia dupla bis tantum continet minorem, tripla ter, quadrupla quater complectitur.

Proportio superpartiens est proportio duarum quantitatum, quarum major continet semel minorem, et ejus aliquot partes aliquolas, id est. quarum quaelibet sit aliquota, dummodo non faciant semel conjunctae unam aliquotam : si enim faciant unam aliquotam, erit proportio superparticularis supra dicta ; hujusmodi proportionem habet quinarius ad ternarium. Quinarius enim continet semel ternarium, et duas unitates, quarum quaelibet est pars aliquota ternarii, ambae vero simul nullo modo sunt ejus pars aliquota : eamdem proportionem habet septem ad quinque, et novem ad septem. Haec proportio dividitur in species suballernas in proportionem superbipartientem, et supertripartientem, et sic in infinitum.Si enim major quantitas minorem contineat, et duas ejus partes, est prima species, quae dicitur superbipartiens, qualis est proportio quinarii ad binarium : si vero contineat tres partes, est alia species, quae dicitur supertripartiens, cujusmodi est proportio octo ad quinque. Rursus unaquaeque istarum subdividitur in species infimas, verbi gratia, superbipartiens dividitur in species infimas in infinitum, nam si illae partes, in quibus major quantitas excedit minorem, sint tertiae, prima species dicitur superbipartiens tertias, quae quidem est, quando major quantitas continet minorem, et insuper duas ejus tertias ; qualem proportionem habet quinarius ad ternarium. Si vero illae duae partes sint quintae, fiet alia species, quae dicitur superbipartiens quintas, qualis est proportio septenarii ad quinarium, et sic semper pocedendo per partes impares, scilicet tertias, quintas, septimas, etc. Simili modo poteris dividere alias species hujus proportionis, videlicet supertripartientem, et superquadripartientem. Diximus autem proportionem superbipartientem dividi in superbipartientem tertias, quintas, septimas, etc. non vero in superbipartientem quartas, aut sexlas ; quoniam si duae partes illae sextae, aut quartae essent, jam ex illis fieret una pars aliquota : nam ex duabus sextis fit una tertia, et ex duabus quartis fit una media, quarum quaelibet est aliquota, et tunc jam talis proportio contineretur in superparticulari, et non in superpartiente.

Proportio multiplex superparticularis est composita ex prima, et secunda specie,

estque proportio duarum quantitatum, quarum major continet minorem aliquoties, et insuper unam ejus partem aliquotam, ut proportio quinarii ad binarium ; et in hujusmodi proportione est considerare proportionem multiplicem in ipsa inclusam , videlicet duplam, triplam, etc. Et etiam est considerare illam partem aliquotam, qua quantitas major superat minorem, quae potest esse pars dimidia, tertia, vel quarta, et sic in infinitum. Unde fit ut duplex sit divisio hujus proportionis : immediate namque dividitur in species subalternas juxta aliam proportionem multiplicem, quam includit ; si enim major quantitas contineat minorem bis, et unam ejus partem aliquotam, est species proportionis multiplicis superparticularis, quae dicitur dupla superparticularis, qualis est quinarii ad binarium : si vero contineat minorem ter, est alia species, quae dicitur tripla superparticularis, ut septenarii ad binarium. Deinde quaelibet ipsarum specierum dividi potest in infinitas infimas species, habita ratione partium aliquotarum, ut si pars aliquota, quam major quantitas continet super minorem bis inclusam in dupla proportione superparticulari, sit medietas ipsius minoris ; est prima species proportionis duplae superparticularis, quae dicitur dupla superparticularis sesquialtera, qualis est binarii ad binarium. Si vero sit tertia pars, est alia species, quae dicitur dupla sesquitertia, ut septenarii ad binarium, et ita de reliquis in infinitum. Eodem quoque modo dividi possunt caeterae omnes species proportionis multiplicis superparticularis, ut tripla superparticularis dividatur in triplam sesquialteram, et triplam sesquitertiam, et sic deinceps.

Proportio multiplex superpartiens componitur ex prima, et tertia specie ; et est proportio duarum quantitatum, quarum major includit minorem aliquoties, et insuper aliquot ejus partes aliquo tas, non facientes unam aliquotam, qualis est proportio octonarii ad ternarium. In hac tamen specie triplex est divisio : Prima in species subalternas ratione proportionis multiplicis, quae hic includitur. Nam si quantitas major praeter aliquot partes, quas supra minorem continet, contineat minorem bis, est prima species proportionis multiplicis superpartientis, quae dicitur dupla superpartiens, qualis est octonarii ad ternarium: si vero contineat minorem ter, est alia species, quae dicitur tripla superpartiens, qualis est inter undecim, et tria, et sic in infinitum. Rursus quaelibet istarum specierum dividitur in species subalternas juxta numerum partium aliquotarum : verbi gratia, si in dupla superpartiente illae partes, quas major quantitas continet bis supra minorem, sint duae, fit prima species, quae dicitur dupla superbipartiens, qualis est octonarii ad ternarium: si vero sint tres, fit alia, quae dicitur dupla supertripartiens, qualis est inter tredecim, et quinque, et sic de reliquis. Deinde quaelibet istarum specierum dividitur in infinitas alias infimas, pro diversitate partium aliquotarum : nam si duae illae partes aliquotae, quas major quantitas includit praeter minorem aliquoties contentam, sint tertiae ipsius minoris, ita scilicet ut quaelibet sit tertia, erit una species : verbi gratia, in proportione dupla superbipartiente, quae continet minorem bis, et insuper tertias ipsius minoris, dicetur dupla superbipartiens tertias, qualis est octonarii ad ternarium : si vero sint quintae, efficitur secunda species, quae dicitur dupla superbipartiens quartas, qualis est inter duodecim et quinque, et sic deinceps: et hoc modo, quo divisa est proportio dupla superbipartiens, dividi potest quaecumque aliarum, ut superius de multiplici superparticulari diximus.

De proportione minoris inaequalitatis nihil aliud dicendum restat, quam, ut supra diximus, dividi posse in tot species, in quot divisa est proportio majoris inaequalitatis ; accipiendaque est specierum appellatio ex appellatione specierum majoris inaequalitatis, praeposita tamen hac particula sub: ut si proportio quatuor ad duo dicitur multiplex ad duplam, proportio duorum ad quatuor dicetur submultiplex, ad subduplam, etc. Solet autem assignari haec regula : Actio nunquam fit a proportione sive aequalitatis, sive minoris inaequalitatis, sed semper fieri debet a proportione majoris inaequalitatis, id est, ab agente habente plus aclivilatis, quam patiens, seu mobile habeat resistentiae ; nam si aequales, aut pauciores habuerit gradus activitatis, non poterit sub mobilis resistentiam superare, atque adeo illud non movebit. Hactenus de proportione.

Modo de proportionalitate dicendum est. Proportionalitas est proportio proportionum, seu comparatio proportionum, sive habitudo quaedam inter proportiones ; verbi gratia, unius duplae ad aliam duplam, vel duplae ad quadruplam.

Dividitur proportionalitas in Geometricam, Arithmeticam et Musicam. Proportionalitas Geometrica est duarum proportionum similitudo secundum speciem proportionis, licet sit dissimilitudo secundum excessum : qualis est illa, quae cernitur inter proportionem senarii ad quaternarium, et ternarii ad binarium, quarum utraque est sesquialtera : excessus tamen non est idem; siquidem senarius supra quatuor duas continet unitates, ternarius vero super binarium unam tantum. Proportionalitas Arithmetica est duarum proportionum similitudo, secundum excessum, licet sit dissimilitudo quoad speciem proportionis, cujusmodi est ea, quae est inter proportionem ternarii ad binarium, et quaternarii ad ternarium, quarum prima est sesquialtera, et secunda sesquitertia, excessus tamen est idem ; sicut enim ternarius excedit binarium unitate, sic etiam quaternarius excedit ternarium unitate tantum : et ex hoc dicitur haec proportio Arithmetica, quia scilicet ratio ejus consistit in similitudine numerorum, seu in excessu aequali secundum numerum. R filio vero proportionalitatis Geometricae in similitudine proportionis potissimum consistit, quae non magis reperitur in nume^ ris, quam in magnitudinibus, et propterea ad differentiam Arithmeticae, quae in numeris tantum reperitur, vocatur Geometrica. Proportionalitas Musica est similitudo inter maximum, et minimum extremum duarum proportionum, et inter excessus utriusque proportionis, licet proportiones illae non sint ejusdem speciei, neque excessus sint iidem. Consistit namque haec proportionalitas in hoc, quod sicut maxima quantitas, quae in illis cernis tur, et minima se habent inter se, ita excessus, qui in una reperitur, et excessus qui in altera, se habent inter se: verbi gratia, sit proportio sex ad quatuor, item quatuor ad tria ; maximum extremum, seu maxima quantitas, quae in his duabus proportionibus reperitur, est sex, minima vero est tria : nam excessus qui reperitur in una, nimirum in priori, qua scilicet sex excedunt quatuor, est duo ; excessus vero in posteriori, qua scilicet quatuor excedunt tria, est, unum. Quamvis igitur istae proportiones non sint ejusdem speciei, quia sex ad quatuor est proportio sesquialtera, quatuor vero ad tria est sesquitertia,quamvis item excessus non sint idem inter se, quia in una est duo, in altera unum, nihilominus, quia sicut se habent maxima illa quantitas sex et minima, scilicet tria, inter se, ita se habent excessus, scilicet duo et Unum inter se ; quia sicut inter sex et tria est proportio dupla, ita inter duo et unum, dicitur inter illa esse proportionalitas, quae appellatur proportionalitas Musica, quia solum apud Musicos (ut aiunt) illius est usus. Haec breviter de proportionibus annotavimus , cum propter Scotum qui in hac quaestione de proportionibus loquitur, tum quia deserviunt ad intelligendas regulas, quas docet Aristoteles pro motuum comparatione.

( ) Nihil dicatur univoce quidditativa de substantia, et accidente. Nola quod hic Scotus loquitur de univocatione Physica, vel etiam Logica, accipiendo univocationem Logicam proprie, et in rigore : ens enim,

physice, et logice loquendo, non est univocum, vel saltem non dicitur univoce de Deo et creatura, substantia et accidente. Vide ea quae diximus in Formali talibus, articulo primo, et in expositione quaestionis nonae Universalium Scoti, ad ultimum principale.