QUAESTIO II

Utrum continuum sit divisibile in semper divisibilia

Aristot. 6. Physic. text. 3. Simplic. D. Thom. et alii interpretes ibid. Averroes com. 3. Scotus in 2. dist. 2. quaest. 9 , et Metaph. quaest. 10. Durandus iH 1. dist. 39. quaest. 2. et dist. 34. quasi. 2. Gregor. in 2. dist. 24. quaest, i. Canonic. 4. Physicor. quaest, unica. Nvmph. 5. Met.yuaeit. 8. Sonoin quaest. 20. Fonseca jHaiil

6. lect. 5. Sotus lib. 3. Physic. quaest. 3. Tolet. lib. 6. quaest. 1. cancl. - 3. Perer. lib . 10. cap. 13. et 15 . Compluten.disp. 23. quaest. 4. Fuente quaest. 1. diffic. 1.

Arguitur quod non : quia tunc sequeretur, quod in continuo essent infinitae partes ; consequens est falsum, quia vel essent in actu, vel in potentia : non in actu, ut dicit Aristoteles 3 hujus, text. 67;non in potentia, quia illa potentia non potest reduci ad actum, nisi per divisionem, et per hoc, dato quod tunc divideretur, jam non esset continuum. Secundo, quia est dare ultimam partem proportionalem continui ; igitur continuum non est divisibile in semper divisibilia. Probatur antecedens, et imaginetur aliqua pars hominis divisa per partes proportionales, secundum proportionem duplam, et imaginetur C, spatium consimiliter dividi, et terminetur ad punctum vel ad lineam D, versus partes minores ; tunc pono quod A, et B mobilia debeant moveri supra C spatium in hora sic divisa, ita ut A moveatur in duplo velocius quam B, et incipiat moveri a partibus minoribus versus majores, et in fine cujuslibet horae quiescat mobile A, donec ibidem veniat mobile B, tunc quaero, utrum in fine horae A et B aeque cito veniant ad punctum D, vel non : si sic, igitur B movebatur aeque velociter sicut A, quod est contra positum. Si non, sed A citius venit ad D quam B ; igitur quando A primo attingit D, inter ipsum et B est aliquod spatium intermedium ; et tunc, vel illud est una pars proportionalis, vel plures : non plures, quia tunc non in fine cujuslibet partis A expectasset B, quod est contra positum. Si una sola ; igitur est ultima pars proportionalis, et habetur intentum. Tertio, sint A, B duo corpora se invicem tangentia ; et dividatur B secundum partat proportionales ; tunc arguitur sic : B secundum aliquam sui partem tangit .1 immediate ; igitur aliqua est ultima pars proportionalis ipsius B. Consequentia tenet : quia inimaginabile est, quod aliqua multitudo tangat aliquid, vel sit sibi immediata, nisi aliquid illius multitudinis sit immediatum illi.

Quarto, nullus numerus est infinitus, omnes partes continui sunt numerus ; igitur nullae partes continui sunt infinitae, et per consequens continuum non est divisibile in semper divisibilia.

Quinto, infinitis repugnat, quod sint accepta , sed omnes partes continui sunt acceptae ; igitur nullae partes continui sunt infinitae. Major patet per definitionem infiniti ; quia infinitum est cujus quantitatem accipientibus semper contingit ultra accipere : et minor probatur , quia accepto aliquo toto, accipiuntur omnes partes ejus.

Sexto, sequeretur, quod nullum continuum posset pertransiri, quod est contra experientiam. Et probatur consequentia, quia in quolibet continuo sunt partes infinitae, et non contingit infinita pertransiri.

Septimo, sequeretur, quod quodlibet continuum esset infinitum ; consequens est falsum. Consequentia probatur: quia plures partes faciunt majorem extensionem, quam pauciores ; igitur infinitae partes faciunt infinitam extensionem, et cum in continuo sint infinitae partes, sequitur, quod continuum est infinitum. Octavo, in continuo non sunt infinitae partes ejusdem quantitatis ; igitur nec ejusdem proportionis. Antecedens patet 3. hujus, text. 67. Consequentia probatur, quia in quotcumque partes ejusdem proportionis potest dividi continuum, in tot etiam ejusdem quantitatis. quia totum potest dividi in duas medietates. Item, quaelibet medietas in duaei Item quaelibet quarta in duas, et sic in infinitum.

Nono, sequeretur, quod in toto non essent plures partes, quam in parte ; consequens est falsum , quia totum habet omnes partes, quas habet sua pars, et cum hoc alias alterius partis. Consequentia probatur : quia infinitis non sunt aliqua plura, et tamen tam in toto, quam in parte sunt infinitae partes.

Oppositum arguitur per Aristotelem in isto 6 text. 3. quia nisi continuum esset divisibile in semper divisibilia, ipsum esset compositum ex indivisibilibus, cujus oppositum est probatum prius.

Secundo, arguitur, suppositis definitionibus velocioris in isto 6 text. 12. datis, quia quolibet motu dato potest dari motus tardior , ut patet de motu sphaerae super polos immobiles ; tunc si aliquod mobile pertranseat aliquod spatium in aliquo tempore, mobile in duplo tardius pertransibit idem spatium in duplo tempore, et medietatem in eodem tempore, et mobile in duplo tardius quam illud pertransibit medietatem medietatis, et sic in infinitum, quod non esset, nisi illud spatium esset divisibile in semper divisibilia.

In ista quaestione sunt tres dubitationes : Prima est, an ista sit concedenda ; Aliquae partes continui sunt omnes partes continui. Secunda, utrum istasit concedenda de praesenti, Infinitae sunt partes continui, vel etiam partes continui sunt infinitae. Tertia, an ista sit concedenda de possibili, Continuum potest dividi in infinitum.

Quantum ad primum, notandum, quod haec dictio omnis sumitur quandoque distributive ; et sic haec esset falsa : aliquae partes continui sunt omnes partes continui, nisi esset aliquod continuum tale, quod praecise haberet duas partes,

quod est impossibile. Alio modo sumitur collective, et tunc denotat terminum communem, cui additur accipi pro majori numero suppositorum contentorum sub illo numero, designando cum hoc quod nullum sit suppositum contentum sub illo termino, nisi sit aliquid multitudinis. Exemplum, si in ista propositione : omnes Apostoli sunt duodecim, ly omnes accipiatur collective , et tunc sensus est, quod major numerus suppositorum istius termini Apostoli est duodecim, et cum hoc, quod nullus sit Apostolus, qui non sit de numero illorum duodecim. Tunc in proposito est concedendum de aliquo toto habente infinitas paries, quod aliquae sunt omnes illius totius : verbi gratia, si aliquod habet praecise quatuor partes, tunc illis signatis, verum est dicere, quod istae partes sunt omnes partes hujus continui.

Secundo, dico quod de nullo toto habente infinitas partes, verum est dicere, aliquae partes sunt omnes partes illius totius, quia quibuscumque partibus datis, adhuc sunt aliae quae sunt partes illarum partium : et sic patet quod secundumnullum sensum haec est concedenda, aliquae partes continui, sunt omnes partes continui; et hoc de prima dubitatione.

De secunda, nota, quod haec dictio infinitum accipitvir dupliciter : uno modo categorematice ; et sic est terminus privativus oppositus huic termino finitum : modo de ratione privativi est significare illud idem negative, quod suum positivum significat affirmative, connotando cum hoc aptitudinem ad suum positivum ; et sic illud,de quo dicitur iste terminus infinitum, est extensum sine termino, vel carens terminis, aptum natum tamen esse terminatum.

Verum est tamen, quod licet de ratione privativi sit taliter significare, tamen non utimur isto termino infinitum categorematice sumpto, nisi quod significet idem, quod ista oratio : carens termino. Alio modo sumitur syncategorematice, et tunc quidam sic exponunt, non tantum quin majus ; igitur infinitum. Sed ista expositio non valet, quia tunc sequeretur, quod Chimaera esset infinita ; quia Chimaera non est tanta, quin major, igitur est infinita : et ideo exponitur sic infinitum, id est, quodlibet quanto majus, et infinita, id est, quotlibet plura, et quibuslibet plura ; et ita ista : infinitae partes sunt in continuo, significat idem, quod ista oratio : quotlibet partibus plures partes sunt in continuo : verum est tamen, quod ad istam expositionem affirmativam sequatur illa negativa reprobata. Nunc ponuntur conclusiones : Prima conclusio : nullae partes continui sunt infinitae, sumendo hanc dictionem infinitum categorematice ; patet, quia omnes partes continui sunt terminatae, nec aliquae sunt extensae sine termino : igitur omnes sunt finitae.

Secunda conclusio ; capiendo hanc dictionem infinitum syncategorematice, haec est vera , infinitae partes sunt incontinuo, et etiam a parte praedicati, in continuo sunt infinitaepartes. Probatur: quia quotlibet partibus continui plures partes sunt in continuo ; igitur infinitae partes sunt in continuo per descriptionem. Et antecedens apparet : quia quotcumque partes continui signentur secundum veram descriptionem, adhuc possunt signari aliae, et plures, secundum descriptionem. Secundo, quia in continuo sunt aliquot partes, et non tot, quin plures ; igitur infinitae. Ex isto sequitur, quod haec dictio infinitum potest aeque sumi syncategorematice a parte praedicati, sicut a parte subjecti ; quod tamen multi negant: et hoc de secundo. Quantum ad tertium, notandum, quod (loquendo in propositionibus de possibili, aut de praeterito, aut de futuro) oportet uti duabus regulis, quas multi ponunt universales : Prima regula est ista : Omnis propositio singularis, vel indefinita de possibili debet poni in esse per unam propositionem de praesenti, ut ista, Socrates potest currere, ponenda est in esse per unam propositionem, et non per plures, scilicet Socrates currit. Secunda regula, quod In omni propositione de possibili, aut de praeterito, vel de futuro, praedicatum appellat suam formam, et non subjectum ; hoc est dictu,quod talis propositio debet poni in esse per unum de consimili praedicato, et non oportet quod per unam de consimili subjecto : et potest exemplificari de ista : album potest esse nigrum. Dico tamen quod istae regulae sunt modificandae : Primo, si alterum extremum sit pluralis numeri, non oportet, quod illa propositio ponatur in esse per unam de praesenti : verbi gratia, isti currebant, ad hoc, quod haec sit vera, non oportet, quod ista aliquando fuerit vera, isti currunt ; sed sufficit, quod haec una vice fuerit vera, iste currit ; et illa alia vice , iste currit. Secundo, si alterum extremum sit copulatum, tunc non oportet, quod per unam propositionem ponatur in esse, sed per plures, ut ista : eclipses Solis, et Lunae fuerunt, quia nunquam ista fuit vera , eclipses Solis et Lunae sunt. Tertio, quando ab uno extremo propositionis ponitur terminus numeralis, tunc illa ponenda est in esse per plures propositiones , et non per unam ; exemplum : terpotavi vinum. Quarto, quando a parte praedicati propositionis ponitur syncategorema, vel aliquod includens syncategorema, tunc non oportet, quando illa propositio ponitur in esse, quod illud syncategorema maneat sub propria forma a parte praedicati : imo, si illud syncategorema sit signum universale, debet poni in esse per plura signa particularia sibi correspondentia : verbi gratia, haec est possibilis naturaliter, videbo omne astrum ; et haec est impossibilis, video omne astrum, ideo illa de futuro debet aliter poni in esse per plures propositiones, explicando signum universale per plura signa particularia. Et istis quatuor conditionibus observatis, illae regulae sunt universaliter concedendae.

Et secundum hoc respondetur ad dubitationem ; primo, quod haec est falsa ; in infinitas partes potest dividi continuum, in semper divisibilia potest dividi continuum. Causa hujus est, quia si tales propositiones ponerentur in esse per unam, vel per plures, oporteret praedicatum salvare sub propria forma per regulam secundam propositam, et semper ista est falsa : in aliquas partes est divisum continuum, quia si sit divisum jam non est continuum. Secundo dico, quod haec est concedenda : in infinitas partes continuum est divisibile, in semper divisibilia continuum est divisibile : et probatur inductione. Tertio dico,quod istae sunt concedendae : continuum est divisibile in semper divisibilia , continuum est divisibile in infinitum , nec oportet quod praedicatum salvetur in propria forma, quando ponitur in esse, eo quod praedicatum continet manifeste aliquod syncategorema ; et sic patet, quod continuum est divisibile in semper divisibilia.

Ad rationes. Ad primam,tunc in continuo essent infinitae partes, concedo, capiendo syntegorematice. Et quando arguitur, vel in actu, aut in potentia,

concedo quod sunt infinitae partes in actu ab invicem distinctae, licet non in actu ab invicem separatae ; et hoc intelligit Aristoteles 3. hujus, text. 67. et inde, quando negat partes continui esse infinitas.

Ad secundam, negatur antecedens, nisi una medietas vocetur ultima, aut una tertia, aut unaquarta,et sic de aliis. Ad probationem dico, quod A, et B aeque cito venient ad punctum D ,nec ista consequentia valet : quamlibet partem spatii pertransivit A prius quam B, igitur omnes partes spatiipertransivit A prius quam B, quia per antecedens non designatur, nisi quod per quamlibet partem A prius pertransivit, quam B in aliquo instanti; modo ex hoc non sequitur, quod prius in aliquo instanti pertransivit omnes partes, quam B, quia antecedens est verum, et consequens falsum : sicut non sequitur, Deus prius creavit Adam, et Noe quam Petrum: igitur in aliquo instanti creavit illos.

Ad tertiam, concedo casum : et dicitur uno modo, quodi B tangit A, secundum superficiem terminantem ipsum B, quae est immediata A ; tamen dato,quod non considerentur istae superficies , dicitur quod nulla esset pars proportionalis, nec hoc est inimaginabile, nisi poneretur quod in continuo solum essent finitae partes.

Ad quartam, concedo, sumendo categorematice hanc dictionem infinitumJEX sic similiter sumendo conclusionem, quod nullae partes continui sunt infinitae . Et si quaeratur qualiter est hoc,quod Aristoteles in 3 hujus, text. 68. concedit numerum esse infinitum, dico quod ipse sic intelligit, quod non est tanta multitudo continui secundum unam discretionem, quin possit esse major multitudo partium continui seeundum aliam discretionem ; sed sic non est de magnitudine, quia de facto est maxima magnitudo,quae potest esse.

Ad quintam, concedo quod infinitis repugnat esse accepta : quia quodlibet eorum seorsum, et separatim sit acceptum secundum distinctionem, infinita tamen bene possunt esse accepta secundum aliam distinctionem.

Ad sextam, negatur consequentia. Ad probationem, negatur quod infinita non possunt pertransiri sumendo ly infinitum syncategorematice : quia sic sumendo,isti termini finitum et infinitum, non sunt oppositi plusquam omnis et aliquis.

Ad septimam, negatur consequentia. Ad probationem : Plures partes, etc. negatur, nisi illae partes sint aequales, aut majoris quantitatis ; quia duae quartae non faciunt majorem extensionem, quam una medietas.

Ad octavam, negatur consequentia. Ad probationem, dico quod, licet sic dividendo, posset concedi, quod sint infinitae partes ejusdem quantitatis, attamen hoc non contradicit Aristoteli, quia ipse dicit sic, quod accepta aliqua parte continui certae quantitatis, impossibile est, quod in eodem continuo sint partes infinitae ejusdem quantitatis, quia tunc totum esset infinitum.

Ad nonam, concedo consequens, quod patet : quia in aequinoctiali non sunt plures partes quam in tempore, in quo pertransitur, scilicet in una die naturali. Item, tot sunt partes in uno parvo circulo versus polum, sicut in circulo arctico, quot etiam in die naturali ; quia cuilibet parti diei naturalis correspondet una pars illius circuli, quae pertransibitur in illa parte diei, et sic in majori circulo, et in minori non sunt plures partes in uno quam in reliquo, et sic non sunt plures partes in toto quam in parte.