QUAESTIO V

Virum velocitas motus sit attendenda penes spatium in tanto tempore pertransitum

Arislot. hic texi. 12. Vide Auctores citat s quasi, antecedenti.

Arguitur primo quod non: quia tunc sequeretur, quod majus mobile, caeteris paribus, moveretur velocius quam mobile minus. Consequens est falsum : quia quadriga non movetur velocius equo trahente quadrigam. Probatur consequentia, quia majus mobile describit majus spatium quam minus.

Secundo, sequeretur quod totum moveretur velocius sua parte. Consequens est falsum, quia in continuis pars et totum moverentur eodem modo ; quia, ut patet 3. hujus, text. 48. et 51. idem est motus totius et partis.

Tertio, ponatur quod inter duas lineas aeque distantes, ponantur duae trabes ; una major, et alia minor secundum longitudinem, et utraque trabs secundum unum extremum tangat alteram linearum, et motu continuo moveatur, donec reliqua simul tanget; tunc certum est quod trabs minor movetur velocius, et tamen trabs longior tantum spatium describit, sicut brevior : igitur si penes spatium descriptum attendatur velocitas, sequitur quod illae trabes aeque velociter moverentur.

Quarto, sequeretur quod sphaera, vel circulus major circuiret velocius quam sphaera, vel circulus minor. Consequens est falsum: quia uterque in eodem tempore circa idem centrum praecise complet suam circulationem, et per consequens aeque velociter moventur.

Quinto, quia in motu alterationis non pertransitur aliquod spatium igitur ejus velocitas non attenditur penes spatium in tanto tempore descriptum.

Sexto, potest argui de augmentatione, et diminutione, in quibus non attenditur velocitas penes spatium pertransitum, sed potius penes quantitatem acquisitam, vel deperditam.

Oppositum arguitur per Aristotelem in isto sexto, text. 12, et patet ex definitionibus ^velocioris : nam velocius est, quod in aequali tempore pertransit majus spatium, et in minori majus, et in minori aequale ; igitur ex hoc, quod majus vel minus spatium pertransitur, est major vel minor velocitas, et per consequens penes hujusmodi spatium est attendenda velocitas.

In quaestione primo videbitur, quid est velocitatem attendi penes aliquid in generali. Secundo, videbitur specialiter de motu locali recto. Tertio, de motu circulari. Quarto, de aliis motibus consequenter.

Quantum ad primum, notandum quod in motu quolibet est consideranda via, seu distantia terminorum, secundum quam procedendo ab uno terminorum ad reliquum, est successio in motu ; ethujusmodi distantia in motu locali vocatur spatium, et transumptive in aliis motibus potest vocari spatium, et sic in omni motu est imaginanda distantia localis, vel formalis inter terminos motus.

Secundo, notandum quod sicut in qualitatibus est extensio qualitatis, et intensio, ita est etiam in motu : nam extensio subjecti in qualitatibus vocatur extensio qualitatis ; et multitudo graduum in eadem parte subjecti vocatur intensio qualitatis, sed duratio illius vocatur ejus extensio ; et ideo sicut differunt qualitas major et qualitas intensior, ita etiam differunt motus major et motus velocior, quia ille motus est major, qui majori tempore durat, et ille motus velocior, quo in minori tempore majus pertransitur. Ex quo patet, quod velox, et tardum definiuntur in comparatione ad tempus, et ad spatium, quod acquiritur tanto, vel tanto tempore. Et ex isto sequitur, quod motus instantaneus non est velox neque tardus, quia velox et tardum definiuntur tempore.

Tertio notandum, quod velocitatem motus attendi penes aliquid non est aliud, quam scire quid est illud, per quod possumus cognoscere unum esse velocius alio , verbi gratia, si quaeratur penes quid attendatur longitudo corporis ; ista quaestio petit certificari de mensura, mediante qua possumus cognoscere longitudines corporis, ita ut ista quaestio penes quid attenditur velocitas motus, petat certificari de illo, quo noto, possemus cognoscere de motu quantus sit in velocitate.

Quarto, notandum quod illud penes quod attenditur velocitas, debet esse notum invariabile, immobile, quemadmodum mensura magnitudinum debet esse sine augmentatione, et diminutione. Et si dicatur nullum est tale, quod sit simpliciter invariabile et immobile, per quod possit cognosci velocitas, igitur frustra ponuntur illae conditiones. Respondetur, quod licet nullum sit tale, hoc tamen non obstat, quin per hujusmodi lineam imaginabilem immobilem, possimus certificare de motu quantus est in velocitate, quemadmodum per lineas imaginatas certificamus de proportione magnitudinum.

Item, notandum quod duo concurrunt ad velocitatem motus, per quorum quodlibet potest cognosci quanta est velocitas, scilicet proportio potentiae motoris ad resistentiam moti ; et qualiter penes hoc attendatur velocitas, dictum fuit superius. Secundo, concurrit spatium pertransitum a mobili, et magis proprie attenditur velocitas penes spatium descriptum a mobili, quam penes proportionem potentiae ad resistentiam. Primo, quia illud spatium est nobis notius ; sed proportio potentiae ad resistentiam non cognoscitur nisi arguitivs et ex consequenti, eo quod talis proportio non sentitur. Secundo, quia spatium ponitur in definitione velocioris ; et ideo spatium videtur magis de intensione velocitatis, quam proportio potentiae ad resistentiam. Tertio, quia hujusmodi proportio potentiae ad resistentiam est causa velocitatis, sed spatium (a) pertransitum est quasi effectus : modo in naturalibus effectus sunt nobis notiores causis ; igitur potius devenimus in notitiam velocitatis per spatium, quam per proportionem potentiae ad resistentiam ; et sic patet in generali quid est velocitatem attendi penes aliquid : et haec de primo.

Quantum ad secundum, sit prima conclusio ista : Velocitas motus localis recti non est attendenda penes maximum spatium corporale, vel superficiale descriptum a corpore moto. Probatur, quia si ita esset, tunc sequeretur, quod nullus esset motus uniformis, nec posset esse. Consequens est falsum. Consequentia probatur, ex definitione motus uniformis : nam (b) motus uniformis cujuslibet pars movetur aeque velociter sicut totum ; sed nullius totius aliqua pars describit totum spatium corporale vel superficiale, quod totum describit ; igitur si penes hujusmodi spatium attenderetur velocitas, nullius totius pars moveretur aeque velociter sicut totum, et per consequens nihil moveretur uniformiter. Secundo, sequeretur quod semper majus mobile moveretur velocius minori. Consequens est falsum, quia unum parvum plumbum descendit in una hora de sphaera ignis usque ad centrum et si unum magnum lignum moveatur ex transverso in eadem hora, certum est, quod illud plumbum movetur velocius, et tamen majus spatium corporale describitur a ligno, quam a plumbo. Tertio, quia illud alteratur velocius quod per majorem partem sui recipit qualitatem, quam illud, quod per minorem ;^ igitur illud movetur velocius, quod describit majus spatium corporale. Consequentia tenet per simile , et antecedens apparet ; quia penes extensionem qualitatis per subjectum non attenditur intensio qualitatis, sed penes pluralitatem graduum in eadem parte subjecti, et ideo dicit Auctor sex Principiorum, quod margarita est albior, quam albus equus.

Secunda conclusio. Penes spatium lineare descriptum a toto corpore moto, non est attendenda velocitas motus localis recti. Probatur, quia tunc sequeretur, quod velocius motum moveretur tardius, vel aeque velociter. Consequens est falsum. Consequentia probatur per unam rationem ante oppositum, scilicet, posito quod inter duas lineas aeque distantes sint duae trabes inaequales secundum longitudinem , tunc minor trabs velocius movetur, et tamen aequale spatium lineare describit spatio descripto a trabe majori.

Tertia conclusio : Velocitas motus ( ) localis recti est attendenda penes spatium lineare ab aliquo puncto sui moti descriptum, et ita sequitur ex praecedentibus. Sed tunc restat difficultas, an hujusmodi velocitas sit attendenda penes spatium lineare descriptum a puncto velocissime moto, vel a puncto medio, scilicet centro corporum motorum. Tunc ponitur ista conclusio : Penes lineam descriptam a puncto velocissime moto est attendenda velocitas motus localis recti. Probatur : quia penes illud cognoscitur velocitas, quo noto potest cognosci de velocitate quanta sit, sed nota linea descripta a puncto velocissime moto, cognoscitur velocitas quanta est; igitur, etc. Major patuit prius, quia hoc intelligimus per velocitatem attendi penes aliquid. Minor probatur, quia punctus velocissimus est punctus notissimus corporis moti ; ideo linea ab ipso descripta est notissima , sicut patet in sphaeris de linea media inter duos polos, ut de linea aequinoctiali. Secundo, quia quodlibet mobile tantum spatium pertransit, quantum ab aliqua sui parte pertransitur ; sed maximum spatium descriptum ab aliquo mobili est spatium descriptum a puncto velocissime moto , igitur hujusmodi spatium est maximum spatium descriptum a mobili, et penes talia attenditur velocitas ; ergo, etc. Minor patet per definitionem mlocioris ; nam velocius est, quod in minori tempore pertransit majus spatium.

Contra conclusionem arguitur primo, quod non quodlibet est ita album, sicut aliqua pars ejus est alba ; igitur ita nec quodlibet ita velociter movetur, sicut pars ejus velocissime mota. Antecedens apparet de albedine uniformiter difformi, quae non est intensior quam gradus ejus medius. Secundo, quia possibile est, quod alicujus mobilis nullus sit punctus velocissime motus ; ergo, etc. Tertio, posito quod mobile rarefiat secundum partes anteriores , tunc continue est alius, et alius punctus velocissime motus ; igitur penes nullam hujusmodi lineam est attendenda velocitas. Quarto, posito quod sint A et Ii duo mobilia, quorum superficies antecedentes aequaliter procedant, sed superficies seu pars anterior ipsius B condensetur ; tunc ista duo mobilia aeque cito venient de termino ad terminum ; igitur aeque velociter moventur, et tamen ipsius B aliquis punctus velocius movetur, quam alius punctus ipsius A ; igitur penes lineam, etc. Quinto, sequeretur quod si Socrates, et Plato aeque velociter moverentur de termino ad terminum, quod tunc, si in illo termino motus Socrates extenderet digitum, Socrates moveretur velocius Platone.

Ad ista respondetur. Ad primum,concedo antecedens, et nego consequentiam: quia non consimiliter fit denominatio ab albedine et a motu ; quia non quilibet gradus albedinis sufficit ad denominandum subjectum , sed qudibet motus bene sufficit. Ad secundum, dico quod non oportet, quod talis linea describatur sed sufficit imaginata , quia per hoc cognosci potest quantitas velocitatis. Ad tertium consimiliter ; quia licet sit continue alius, et alius punctus velocissime motus,tamen est idem aequivalentem Ad quartum, potest concedi quod B movetur velocius; quam A, licet aeque cito veniant ad terminum ; et hoc idem habet concedere ponens, quod velocitas attendatur penes lineam descriptam a medio puncto. Quod probo, retento eodem casu ; quia illud movetur velocius a cujus medio puncto describitur major linea ; quia si B non fuisset condensatum, tunc fuissent aequales lineae descriptae per media puncta A et B ; sed tunc major linea describitur a medio puncto ipsius B, de quanto medius punctus plus appropinquat ad partes anteriores : igitur, etc. Ad quintum, conceditur quod extendens digitum versus finem motus velocius movetur ; sed hoc non est nisi in quantum motus digiti per expulsionem velocitatur ultra motum corporis ; et sic patet penes quid sit attendenda velocitas motus localis recti: et haec de secundo.

Quantum ad tertium, nota quod possibile est, quod aliquod corpus moveatur circulariter, et non alio motu ; et quod velocius moveatur quam circumeat ; et possibile est e contra, quod velocius circumeat quam moveatur : verbi gratia, in exemplo, sint duo gravia, quorum unum descendat perpendiculariter ad centrum, et aliud aeque velociter descendat, non tamen perpendiculariter, sed ex transverso, et sit primum A, secundum B ; tunc A movetur aeque velociter cum B, et tamen descendit velocius, quia plus appropinquat ad centrum ; ita similiter est de motu circulari vel sphaerico ; nam circulus aequinoctialis movetur velocius, quam circulus minor in sphaera, et non circuit velocius, imo praecise aeque velociter, quia praecise in eodem tempore major circulus, et minor complent suam circulationem.

Ideo hic est duplex dubitatio : Prima, penes quid attendatur velocitas circularis motus. Secunda, penes quid attendatur velocitas circuitionis seu circuitio. Ad primam respondetur sicut de motu locali recto, quod hujusmodi velocitas est attendenda penes lineam descriptam a puncto velocissime moto : verbi gratia, caelum aeque velociter movetur, sicut circulus aequinoctialis. Patet, quia ille punctus est notissimus in caelo , quia medius inter duos polos. Et si objiciatur, tunc sequeretur, quod si uni rotae circumductae colligaretur unus baculus a centro ad circumferentiam,quod tunc illa rota aeque velociter movetur, sicut extrema pars illius baculi. Secundo, sequeretur quod per solam attenuationem rotae velocitaretur motus circularis. Consequens est falsum : quia adhuc manet eadem proportio potentiae ad resistentiam. Tenet consequentia : quia per solam attenuationem pars circumferentialis majorem lineam describeret. Respondetur, negando consequentiam ; quia conclusio intelligi debet de corpore reducto ad sphaericitatem. Aliqui tamen concedunt consequens, quod tale mobile movetur velocius, sicut extrema pars ejus. Ad secundum, concedo consequens : quia ex attenuatione rotae quodammodo diminuitur resistentia, et ideo intenditur velocitas. Et sciendum, quod velocitas non attenditur simpliciter penes hujusmodi lineam, sed penes illam lineam, et numerum replicationis illius lineae.

Ad secundam dubitationem respondetur, ponendo istam conclusionem : Circuitio, ( ) seu velocitas circuitionis est attendenda penes angulos descriptos circa centrum, ita scilicet, quod illud duplo velocius circuit,quod in eodem tempore duplum angulumcircacentrum describit. Probatur, quia penes hujusmodi angulos descriptos circa centrum, Astrologi mensurant ad invicem omnes motus corporum caelestium. Secundo, sequeretur quod Sol non moveretur duplo velocius Marte. Consequens est falsum, ut patet in sphaera, quia Sol complet suam circulationem in anno, Mars vero in duobus. Consequens probatur,quia Sol non pertransit duplum spatium, imo cum sphaera Martis sit multo major quam sphaera Solis, multo majus spatium pertransitur a Marte quam a Sole, nisi attendendo velocitatem penes angulos descriptos, et penes numerum angulorum descriptorum. Sed objicitur : Mars movetur velocius Sole, quia pertransit spatium plus quam in duplo majus sphaera Solis, et non movetur velocius nisi circumeundo ; igitur velocius circuit, quod est contra praecedentem conclusionem. Respondetur, concedendo antecedens, et negando consequentiam: quia non sequitur A movetur velocius quam B ,et non nisi descendendo ; igitur A velocius descendit quam 2?,posito quod B descendat perpendiculariter ad centrum, et A moveatur velocius ex transverso et indirecte versus centrum. Et sic patet penes quid sit attendenda Velocitas motus circularis, et motus circuitionis. Et haec de tertio.

Quantum ad quartum de augmentatione, est prima conclusio ista : velocitas augmentationis non est attendenda penes acquisitum ad istum sensum,quod illud non augmentatur velocius, cui major quantitas acquiritur in eodem tempore ; nec illud tardius, cui minor quantitas acquiritur ; nec illud aequaliter, cui acquiritur aequalis quantitas, (et proportionaliter dicitur de diminutione.) Probatur, quia si parva herba, et magna arbor augmententur in eadem hora, ita ut utrique acquiratur quantitas pedalis, certum est, quod istae magnitudines sunt inaequales. Primo, ad experientiam, et communem usum diceremus herbam multo plus augmentatam,quam arborem. Secundo, quia illae augmentationes sunt inaequales, quarum una est insensibilis et immanifesta, et alia sensibilis et manifesta ; modo augmentatio herbae est sensibilis, et arboris insensibilis ; ergo, etc.

Secunda conclusio : Velocitas augmentationis attenditur penes proportionem acquisiti ad praeexistens, scilicet, quod illud est aeque velociter augmentatum, cui in eadem hora est acquisita aequalis propositio magnitudinis advenientis ad praeexistentem ; et ideo si unum parvum animal ut musca, augmentetur ad duplum, et unum aliud animal magnum in eadem hora augmentetur ad duplum, ista duo aeque velociter augmentantur, non obstante, quod multo major quantitas acquiritur uni, quam alteri.

Tertia conclusio : Velocitas rarefactionis non est attendenda penes extensionem, sed penes proportionem, quae est acquisiti ad praeexistens, quia quantum ad hoc est idem judicium de augmentatione et rarefactione. De alteratione dicetur super 7. hujus. Patet igitur in quolibet genere motuum, penes quid, scilicet tanquam penes effectum, sit attendenda velocitas motus : et haec de quarto.

Rationes, licet sint satis solutae , tamen ad primam negatur consequentia,

quia penes spatium corporale non attenditur velocitas, quemadmodum praesupponit ratio.

Ad secundam, negatur consequentia, propter eamdem causam.

Ad tertiam, dico quod illa ratio praesupponit velocitatem attendi penes lineam descriptam a toto corpore moto ; modo hoc est falsum , sed attendenda est penes spatium lineare descriptum a puncto velocissime moto.

Ad quartam, negatur consequentia ; quia licet sphaera major velocius moveatur, tamen non velocius circuit, eo quod sphaera vel circulus major, et minor possunt in eodem tempore describere angulos aequales circa centrum.

Ad quintam, dico quod licet non sit ibi spatium locale, attamen est ibi spatium, id est, distantia formalis inter terminos, secundum quam est successio ab uno termino ad reliquum.

Ad sextam de augmentatione, dico quod nec attenditur penes spatium, nec penes quantitatem acquisitam vel deperditam, sed penes proportionem quantitatis acquisitae, vel deperditae ad praeexistens.

ANNOTATIONE^

(a) Spatium pertransitum est quasi effectus. Nota, quod duplex est via rem aliquam cognoscendi, ut adnotavit Aristoteles in Prologo hujus : Prima, quoad nos per effectum, quod est nosse quia est, id est, hoc esse hoc, ut videntes hominem ridere cognoscimus esse risibilem; et secunda, ordine naturae per causam, quod est cognoscere propter quid, in quo proprie consistit ratio scientiae. Scotus in hac quaestione investigat velocitatem motus ex effecturum quia prius tractata est ab Aristotele, tum quia cognitio nostra incipit a sensu. In 7. autem, quaest. 6. scrutatur viam quae est per causam.

(b) Nam motus uniformis cujuslibet pars

moti movetur aeque velociter. Nota, quod motus est duplex : uniformis et difformis, et utraque differentia potest considerari respectu subjecti, et respectu temporis. Respectu subjecti motus est uniformis, cujus omne partes aequa inter se velocitate moventur, ut est videre in continuo recte moto per planum ; si enim lapis pedalis per planitatem moveatur, omnes ejus partes moventur aequaliter : difformis vero motus, quoad subjectum est, quo non omnes partes mobilis moventur aequaliter, qui duplex est :uniformiter difformis, et difformiter difformis. Motus uniformiter difformis est motus subjecti, ita difformiter moli, ut cujuscumque portionis lineae secundum talem extensionem punctum medium ea pro portione exceditur ab extremo intensissimo talis portiunculae, qua excedit alterum ejus extremum remississimum, qui quidem inter motus locales solum convenit circulariter motis, et illis omnibus, ut apparet in mola frumentaria, cujus centrum indivisibile immobile staret, si motus esset perfecte circularis, et si circumferentia moveretur ut 8. punctum medium inter ipsam et centrum moveretur ut 4., et medium inter circumferentiam et 4. moveretur ut 6., et medium inter 4. et centrum moveretur ut 2. Motus difformiter difformis quoad subjectum, est motus subjecti, ita difformiter moti, ut non cujuscumque portionis secundum talem extensionem, punctum medium aequaliter excedat, et excedatur, ut si quadrupedale ita in una hora alteretur, quod prima pedalitas accipiat calorem uniformiter ut unum, secunda uniformiter ut 2 vel ut 3 etc. nam punctum medium talis pedalitatis, neque excedit unum extremum, neque exceditur ab altero ; caeterum motus localis non potest esse difformiter difformis quoad subjectum, quoniam rectus nequit ullo modo esse difformis, cum omnes partes continui aequaliter moveantur, circularis vero omnis est uniformiter difformis.

Motus uniformis quoad tempus est ille, quo idem mobile aequis portionibus temporis aequas itidem psrtransit longitudines spatii, ut in regularissimo motu caelorum perspectum est, spatii videlicet veri, vel imaginanti, quia secundum Philosoph os movetur primum mobile, super quod putant non extare locum. Motus autem difformis quoad tempus e3t ille, quo partibus aequalibus temporis inaequalia pertranseuntur spatia, vel inaequalibus aequalia; et est uti superior, vel uniformiter difformis, vel difformiter difformis. Mulus uniformiter difformis quoad tempus, est motus ita difformis, ut si dividatur secundum tempus, scilicet secundum prius et posterius, cujusque partis punctum medium illa proportione excedit remississimum extremum illius partis, qua exceditur ab intensissimo. Haec motus species proprie accidit naturaliter motis et projectis, ubi enim moles ab alto cadit per medium uniforme, velocius movetur in fine, quam in principio ; projectorum vero motus remissior est in fine quam in principio, atque adeo primus uniformiter difformiter intenditur: secundus vero uniformiter difformiter remittitur.Motus vero difformiter difformis,quoad tempus est motus taliter difformis, ut si dividatur secundum tempus non cujuscumque partis medium ea proportione excedit unum extremum, qua exceditur ab alio, ut si ita res aliqua moveretur per horam, ut per aliquam partem uniformiter moveretur ut unum, per aliam ut duo vel tria, et caetera, ut videri potest in motibus progressivis animalium, quae quidem species motus crebro accidit in alteratione corporum animalium, et potest forsan contingere in motu augmenti, et decrementi.

( ) Velocitas motus localis recti, etc. Nota, quod haec conclusio potest hoc exemplo explicari ; ut sint duo mobilia A et B, quae non aeque velociter moveantur,si conferantur in velocitate, qualis proportio fuerit inter lineas eodem tempore perlransitas, talis erit proportio inter velocitates ; et eadem est ratio, si motus ejusdem mobilis, quo uno tempore movetur, comparetur ad eum, quo movetur in alio ; ut si A mobile i n una hora percurrat milliaria quatuor, in quo B percurrat tria, movebitur in sesquiterlio velocius ; et si B percurrat duo, movebitur in duplo velocius, et si tantum unum, in triplo.

(d) Circuitio, seu velocitas circu donis est a Vendenda, etc. Nota, quod non penes idem a ttendilur velocitas circulationis, et velo-

AdminBookmark

cilas motus, qui fit pcrcirculum. Nam velocitas circulationis, ut hic dicit Scotus, attenditur penes magnitudinem angulorum, qui describuntur circa centrum : exempli gratia, si tria mobilia circumirent in eodem tempore tres circulos, taliter, ut quo tempore infimum mobile moveretur ab A ad B, medium percurrat a C ad D, et supremum ab E ad F , aequaliter circumirent, quia in eodem tempore aequales angulos describunt circa idem centrum ; omnes enim sex illi anguli descripti in tribus circulis sunt aequales, quippe quibus idem opponitur in centro, et ideo eodem tempore singula -peragent suos circulos. Sed tamen non moventur aequaliter, quoniam velocius movetur medium mobile quam infimum, multoque celerius supremum , quoniam bases illorum angulorum non sunt aequales, quapropter quanto per majorem circulum eodem tempore unum quodque movetur, tanto majorem describit lineam, ita ut caelestes omnes orbes aequaliter circumeant, tamen tanto quisque velocius, quanto aliis superior ; nam eodem die omnes complent suos circulos ad motum primi mobilis, tametsi longe inaequales, et ideo quanto orbis est inferior, tanto motu diurno tardius fertur. Eadem ratione in eadem sphaera omnia puncta circumeunt aequaliter, licet quanto sunt propinquiora polo, tanto minori velocitate moveantur.