QUAESTIO I

Utrum continuum sit compositum ex indivisibilibus

Aristot. hic text. 1. et l. de lineis insectibilibus. Averroes, Themistius, Simplicius, et Mayronius ibidem D. Thom. lect. 1. Avicenna 6. naturalium part. 5. cap. 2. A Igazelus tract. I. tum Metaph. D. Augustin. 11. de Trinit. c. 10. Al. berl. 6. Physic. tract. i-.:ap. 1. et lib. de lineis indivisibilibus. Scotus in 2. dist. 2. quaest. 9. Durandus quaest, 4. Gregorius quaest. 2. Canonic. 6. Physic. quaest, unica Conimbr. cap 2. quaestt 2. Compl titen. disp. 25. quaest. 2. fluvius cap. 2. tract. peculiari de hac. re. Roccua quaest. 1. Fuente q. 2. diffic. 2.

Arguitur quod sic : indivisibilia sunt sibi invicem proxima ; igitur continuum est compositum ex indivisibilibus. Consequentia nota est, et elicitur ex isto sexto : et antecedens probatur, quia duorum corporum se invicem tangentium ultima superficies unius est immediata ultimae superficiei alterius.

Secundo confirmatur, quia sumpta aliqua linea, capio punctum terminans illam lineam ; quaero utrum inter ipsum et omnia alia puncta lineae sit aliquod intermedium, vel nullum. Si nullum ; igitur punctum terminans illam lineam omnibus aliis est immediatum, et habetur propositum. Si aliquid, tunc illud non potest esse nisi linea vel punctus : et quodcumque detur, non omnia puncta praeter terminans erant prius accepta, quod est contra positum.

Tertio, ponatur quod punctus terminans aliquam lineam,corrumpatur ; tunc quaero utrum linea maneat terminata, vel non. Si non ; igitur per solam ablationem unius indivisibilis, linea finita efficietur infinita. Si sic ; tunc quaeram de puncto terminante illam lineam, utrum erat immediatum puncto ablato, et habetur propositum : vel mediatum, et hoc est contra positum, quia ponebatur, quod nihil auferretur nisi punctus terminans.

Quarto, aliquod indivisibile de facto movetur : igitur aliqua linea est composita ex indivisibilibus. Consequentia tenet, quia punctum fluens causat lineam, ut imaginatur Aristoteles 1. Caeli, text. 4. et Comm. 3. Physic. cora. 60. Sed quod ex indivisibilibus sit composita, probatur, quia indivisibile motum causat continue indivisibile post alterum. Antecedens patet, quia intellectus noster movetur, qui tenetur esse indivisibilis. Item, Angelus,ut multi concedunt, per se movetur.ltem, indivisibile, ut punctus,movetur ad motum ipsius,in quo est, nec minus describit lineam, si per accidens moveatur,quam si per se moveatur

Quinto.si sphaericum moveretur super planum, causaret lineam compositam ex punctis , sed hoc est possibile : igitur possibile est, quod linea componatur ex punctis, et qua ratione de uno continuo, eadem ratione de quolibet ; igitur quodlibet continuum est compositum ex indivisibilibus. Antecedens probatur, quia sphaericum tangit planum praeciso in puncto, ut patet in Prooemio de Anima ; igitur si sphaericum moveretur super planum, continue tangeret punctum post punctum, et per consequens linea descripta esset composita ex indivisibilibus.

Sexto continuum resolvitur in indivisibilia ; igitur est compositum ex indivisibilibus. Consequentia tenet, quia unumquodque resolvitur in ea,ex quibus componitur ; et antecedens probatur , quia si continuum esset divisum in omnia, in quae esset divisibile, ipsum esset divisum in indivisibilia: sed si esset divisum in omnia, in quae esset divisibile, ipsum non esset divisum in alia, quam in illa ex quibus de facto componitur ; igitur continuum de facto componitur ex indivisibilibus. Antecedens probatur: quia vel remaneret indivisibile, et habetur propositum ; vel divisibile, et tunc non fuisset continuum divisum in omnia, in quae erat divisibile, quod est contra positum.

Septimo, quia punctus est pars lineae; igitur linea componitur ex punctis. Tenet consequentia, quia totum componitur ex suis partibus. Antecedens patet, quia punctus ponitur in definitione lineae ; modo definitio explicat partes definiti, ut habetur 7. Metaph. text. 23. et hoc idem dicit Comment. 4. hujus, comm. 31.

Octavo, sicut se habet unitas ad numerum, ita punctus ad lineam, ut saepe ponit Aristotelesjsed numerus componitur ex unitatibus per definitionem numeri : igitur linea componitur ex punctis.

Ultimo, arguitur per Aristotelem primo Post. text. 30. ubi dicit, quod substantia lineae ex punctis est.

Oppositum arguitur(a)per Aristotelem 6. hujus, text. 1. Et probatur ratione: quia ex illis non componitur aliquid, quibus additis, non resultat aliquid majus ; indivisibilibus autem additis ad invicem non resultat aliquid majus : ergo, et caetera. Major nota est, quia oportet, quod illa quae componunt magnitudinem faciant extensionem. Item, patet ex alio, quia si essent duo corpora sic se habentia, quod simul cum quolibet unius esset aliquid alterius, et nihil unius esset extra reliquum, imimaginabile est, quod illa duo corpora faciant majorem extensionem, quam alterum illorum tantum, si per se esset. Minor probatur ; et sit linea facta ex tribus indivisibilibus, scilicet, A, Ii, C, vel igitur C tangit B, secundum illud idem, secundum quod A tangit B, vel secundum aliud. Si secundum aliud ; igitur B est divisibile, quod est contra positum. Si secundum idem ? igitur ista puncta non faciunt extra se invicem extensionem ; et habetur propositum,

Secundo, sequeretur quod indivisibile esset divisibile; consequens implicat. Et consequentia probatur : posito quod lineam factam ex tribus indivisibilibus pertranseat mobile velocius in aliquo tempore ; et ponatur, quod in eodem tempore super eamdem lineam moveatur mobile in duplo velocius ; igitur duplum spatium pertransibit, et per consequens punctum cum dimidio.

Tertio,illa indivisibilia vel essent continua,velcontigua,vel consequenter se habentia.Non continua,quia continua sunt, quorum ultima sunt unum, et tamen indivisibilia non habent ultima. Nec(b)conti gua,quia contigua sunt,quorum ultima sunt simul : modo indivisibilium non sunt ultima. Nec consequenter ; quia consequenter sunt, inter quae non est medium ejusdem generis, et non proximum: modo per te puncta sunt ad invicem proxima, cum ex eis .co inponatur continuum ; ergo,etc.

Quarto, sequeretur quod nihil posset rarefieri ad minus, quam ad subduplum ; consequens est contra experientiam. Et consequentia probatur, supposito quod in rarefactione una quaelibet pars rarefacti sit rarefacta. Tunc supposito uno indivisibili, vel illud indivisibile rarefiet ad duo indivisibilia, vel ad minus; si ad duo, ita similiter argueretur de quolibet indivisibili illius continui, et per consequens totum continuum rarefit usque ad subduplum. Si ad minus, tunc sequitur, quod est dare minus indivisibili, quod est irrationabile. Eodem modo probaretur, quod impossibile esset aliquid condensari, nisi esset duplum, ita ut quaelibet duo puncta efficerentur unum ; vel quod unum indivisibile fieret minus, quam ante, quod est impossibile.

Notandum, quod ista quaestio est intelligenda de indivisibilibus simpliciter habentibus positionem in continuo, cujusmodi imaginantur esse puncta, et hoc pono ad differentiam opinionis Democriti, qui, ut patet 1. de Generat. posuit corpora componi ex magnitudinibus indivisibilibus.

Tunc ponitur ista conclusio : Nullum continuum est compositum ex indivisibilibus. Probatur, quia si sic, sequeretur, quod esset dare minus indivisibili, consequens est falsum, et consequentia probatur ( ), et sit A A, una linea sex punctorum, gratia exempli, super quam per corollarium primi Euclidis, constituatur triangulus duorum aequalium laterum, quorum quodlibet, gralia exempli, sit trium punctorum, et concurrant ista duo latera in puncto G, tunc in am-

AdminBookmark

babus lineis A, G, signet punctum B. quod distet ab A per duo puncta, et protrahatur linea B, B, deinde in eisdem lineis signetur punctum C, quod distet a B, per duo puncta , deinde D, quod distet a C per tantum, postea E, et sic consequenter usque ad G ; tunc isto posito arguitur sic : puncta B minus distant ab invicem quam puncta A,- sed puncta A distant per quatuor puncta , quia tota linea A ponitur sex punctorum: igitur puncta B, ad minus distant per tria puncta. Et iterum puncta C, minus distant, quam puncta B; igitur ad minus distant per duo puncta. Iterum puncta D, distant minus, quam puncta C, igitur ad minus distant per unum punctum; sed puncta E^ minus distant, quam puncta D ; igitur puncta E, minus distant quam per indivisibile : et habetur propositum conclusionis.

Secundo, sequeretur quod aliquae duae lineae concurrerent, et illae eaedem non concurrerent, quod est contradictio. Consequentia probatur: et sit una linea trium punctorum, A, B, C, supra quam per primam primi Euclidis constituatur triangulus aequilaterus, cujus unum latus sit A, F, D, et aliud C, E, D, tunc quaero, utrum puncta F, B, concurrant, vel non : vel isto modo formetur divisio: inter puncta, E, F, est aliquod intermedium, vel nullum : si nullum,E, F, sunt igitur unus punctus, et concurrunt. Igitur triangulus dalus non est aequilaterus

AdminBookmark

quia basis est trium punctorum, et quodlibet aliorum laterum est duorum praecise, quod est contra positum. Si dicatur, q nod inter ipsa est aliquod intermedium: vel igitur illud est indivisibile, vel mimis indivisibili, vel majus. Si indivisibile : igitur linea A, D, et C, D, sunt aeque distantes, quia inter puncta A,C est praecise tanta distantia,sicut inter puncta F, E ; igitur per definitionem aeque distantium,illae lineae nunquam concurrerent in infinitum protractaejsed nunc de facto concurrunt in puncto D, ut positum est ; igitur quae nunquam concurrerent, concurrunt, quod est contradictio. Si dicatur, quod minus ; igitur est dare mi. nus indivisibili, quod est impossibile ; si majus, igitur lineae A, D, et C, D, plus distant a parte superiori quam ab inferiori: igitur si a parte superiori in infinitum protraherentur in continuum et directum, nunquam concurrerent, sed continue plus distarent, et per consequens ex eis non fieret triangulus, quod est contra positum.

Tertio, sequeretur quod indivisibile esset divisibile in duas medietates aequales ; consequens implicat. Et consequentia probatur ; et sit una linea composita ex tribus indivisibilibus : igitur per decimam primi, possibile est illam lineam dividi per duo aequalia ; igitur quaelibet medietas erit composita ex puncto cum dimidio, et habetur consequens.

Quarto, sequeretur quod diameter quadrati, et ejus costa essent ad invicem

AdminBookmark

aequales ; consequens est impossibile , quia se habent ad invicem in proportione, quae est medietas duplae. Consequentia probatur ; et sit quodlibet laterum quadrati sex punctorum ; tunc a quolibet puncto unius lateris ad sibi oppositum alterius protrahatur linea recta, sequitur quod, cum istae lineae sic protractae occupent totam superficiem, quod non erunt plura puncta in diametro quam in costa, et per consequens erunt aequales.

Quinta ratio, capiatur una linea trium punctorum, quae moveatur circulariter sic, quod ejus extremum circumscribat circulum: tunc quaero quando punctus extremus S, A pertransit unum punctum,quantum pertransivit punctus B, sibi immediatus. Si dicatur, quod unum indivisibile ; tunc sequitur, quod circulus interior esset aequalis superiori , et tamen ambo circumscribuntur circa idem centrum, quod est impossibile. Si dicatur, quod minus ; tunc sequitur,quod est dare minus indivisibili. Si majus, igitur circulus interior descriptus circa idem centrum esset major circulo exteriori, quod est impossibile.

Sexto, sequeretur quod punctus esset aequalis portio circuli : consequens est impossibile, quia tunc unum indivisibile esset aequale divisibili. Consequentia probatur, posito quod circulus Adescribatur circa aliquod centrum, tunc a quor libet puncto circumferentiae, usque ad centrum protrahatur linea recta, et nulla illarum linearum circa centrum coincidit cum alia ; tunc circa idem centrum fiat circulus B, in circulo A , tunc quaero utrum unus punctus in centro B, tangat praecise unam lineam protractam a circumferentia ad centrum ; vel duas, vel plures. Si praecise unam ; igitur tot erunt puncta in circulo i?, quot sunt in circulo A, et per consequens A, et B sunt circulari aequales, quod est impos-

AdminBookmark

sibile, si tangat plures : sit igitur quod tangat duas, deinde fiat circulus C, minor B, et eadem ratione probabitur, quod unus punctus in circulo C tanget tres, vel quatuor lineas protractas a circumferentia A ad centrum , et sic fiat circulus, si D tanget sex, vel octo ; igitur unus punctus in circulo D tanget totam portionem unius circuli, et per consequens esset aequalis illi portioni, quia sibi suppositus nec excedit, nec exceditur. Ex quibus apparet,quod nullum continuum est compositum ex indivisibilibus.

Ad rationes. Ad primam, negatur antecedens, in eodem continuo ; sed hoc est verum in diversis continuis, nam corporum se invicem tangentium superficies terminantes sibi invicem sunt immediatae ; sed hoc est impossibile in eodem continuo.

Ad secundam, dico quod inter punctum terminantem, et quodlibet aliud, est aliquid intermedium, scilicet linea media. Et si quaeratur, utrum inter punctum terminantem, et omnia alia simul sumpta, sit aliquod medium ? respondetur, quod non; quia nulla sunt omnia alia puncta simul sumpta.

Ad tertiam, dico quod impossibile est punctum terminantem corrumpi, nisi alio generato, quod efficitur punctus terminans ; imo si aliquis punctus terminans non potest removeri, nisi infinitis punctis remotis, et infinitis de novo additis.

Ad quartam, concedo antecedens, et ultra concedo, quod describit lineam, sed non compositam ex punctis. Et quando arguitur ultra, quod continue causat punctum , concedo, sed tamen nullum punctum causat continue post punctum ; imo immediate post punctum causat lineam.

Ad quintam,concedoquod sphaericum, si moveretur super planum, tangeret lineam, sed non compositam ex punctis ; et concedo, quod continue causat punctum post punctum, tameia nullum punctum tangit continue post punctum, imo post punctum tangit continue lineam.

Ad sextam, negatur antecedens. Ad probationem, negatur consequentia ; quia arguitur ex hypotheticis conditionalibus ad unam categoricam ; quae con sequentia non valet.

Ad septimam, punctus (a) est pars lineae ; concedo, ad istum sensum, quod iste terminus punctus est pars definitionis lineae, et quod ponitur in definitione lineae.

Ad octavam, respondetur, quod in aliquo(e)estsimiIe,et in aliquo dissimile.Simile enim est in hoc, quod sicut unitas ponitur in definitione numeri, ita punctus in definitione lineae. Item, uterque terminus connotat indivisionem. Sed dissimile est,quia semper punctus est res indivisibilis ; sed quandoque unitas est res divisibilis, quia unitas non est aliud, quam res una.

Ad ultimam, dico quod Aristoteles intelligit) quod definitio lineae datur per punctum.