QUAESTIO IX

Utrum possibile sit esse aliquam magnitudinem actu infinitam

Aristot. hic text. 35. usque ad 56. et 1. de Caelo, cap. 5. text. 33. usque ad 76. Albert. Maga. tract. 2. cap. 1. et sequent. Scholastici in 1. dist. 34. D. Bonav. ibid. dist. 43. Richard. ibid. quaest. 5. et 6. D. Thom. 1. part. quaest. 7. art.3. et 4. Scotus 11. Metaph. summa 4. cap. 2. et 2. Metaphysic, qu. 6. Occham. quodl. 2. quaest. 5. Canonic. quaest. 3. art. 2. Argentina disput. 1. quaest. 2. art. 4. Almain. in 3. dist. quaest, unica. Gabriel in 2. dist. 1. Vasquez 1. part. disp. 26. Hurtado in Physic. disp. 13. sect. 2. et 3. Conimbr.3. Physic. cap. 8. quaest. 1. Compl ut. disp. 18. quaest. I. Ravias tract. 2. quaest. 1. Fuente quaest. 3. difficult. 1 . Roccus summa 3. quaest. 1.et 2.

Arguitur quod sic : primo, de linea gyrativa partium proportionalium continui. Et imaginetur unum corpus pedale dividi secundum partes proportionales proportionalitate dupla, et circumdet una linea primam partem proportionalem, et illa eadem secundam, et tertiam, et sic in infinitum ; tunc illa linea est simpliciter infinita, quia est composita ex partibus aequalibus, vel majoribus, aliqua parte data.

Secundo, quia tanta est superficies curva de facto, vel saltem composita ex pluribus rectis, quanta esset si esset rectificata, sed de facto est aliqua superficies composita ex pluribus superficiebus, quae si esset rectificata, esset infinita ; igitur illa de facto est infinita. Major patet ; quia ex quo per solam rectificationem fieret infinita, sequitur quod nunc de facto est infinita ,cum per rectificationem nihil sit sibi additum ; et minor apparet de superficie circumdante primam partem proportionalem, secunda secundam, et sic in infinitum.

Tertio, possibile est, quod in prima parte proportionali horae, Deus creet unum lapidem, et in secunda alium, et in tertia tertium, et sic in infinitum ; tunc in fine horae, vel illud erit infinitum, et habetur propositum: vel finitum, et hoc non ; quia est compositum ex infinitis partibus aequalibus. Sed quod antecedens sit possibile, probatur ; quia in generatione lapidis successiva agens naturale producit in qualibet parte proportionali horae unam partem lapidis, aliter enim generatio non esset continua ; igitur, cum quaelibet pars lapidis sit lapis, sequitur quod in qualibet parte proportionali horae agens naturale producit unum lapidem : modo, ut videtur, ubi agens naturale producit minorem, Deus potest producere majorem: et per consequens in qualibet parte proportionali horae Deus potest producere unum lapidem bipedalis quantitatis.

Quarto, quia possibile est aliquod corpus augeri ad duplum, et possibile est aliud corpus augeri ad triplum, et sic in infinitum ; igitur possibile est aliquod corpus esse actu infinitum. Consequentia tenet, quia non potest esse plus quam duplum, plus quam triplum, et sic ulterius ad aliquod certum quantum datum, nisi ipsum esset infinitum simpliciter. Probatur antecedens, quia esset una copulativa, cujus quaelibet pars est possibilis, et una non repugnat alteri.

Quinto, quia in continuo sunt infinitae partes ejusdem quantitatis ; igitur continuum est infinitum. Tenet consequentia ; quia impossibile est aliquod compositum ex infinitis partibus aequalibus, aut ejusdem quantitatis esse, nisi ipsum sit simpliciter infinitum. Antecedens probatur ; quia in continuo sunt duae medietates ejusdem . quantitatis ; tres tertiae, quae sunt ejusdem quantitatis: quatuor quartae, quae sunt ejusdem quantitatis, et sic in infinitum. Et confirmatur ; quia in continuo sunt infinitae partes: igitur continuum est infinitum, quia majorem extensionem faciunt tres. quam duae, et quatuor majorem extensionem, quam tres, et sic ultra ; igitur infinitae paries faciunt infinitam extensionem.

Sexto, quia extra caelum est distantia infinita : igitur aliqua est magnitudo infinita. Tenet consequentia: quia distantia est magnitudo, vel non est sine magnitudine.

Antecedens probatur ; quia si in convexo esset una faba, Deus posset illam movere elongando a caelo, quo facto, faba distabit a caelo, et prius non distabat, et non nisi per distantiam intermediam ; igitur extra caelum est aliqua distantia, et non est ratio quare aliquanta plusquam infinita ; igitur extra caelum, est distantia infinita. Ultimo potest argui rationibus Aristotelis quas ponit in littera . Item, caelum est infinitum, quia infinitum est quod est interminatum: modo caelum est tale, et per consequens infinitum.

Oppositum arguitur per Aristotelem in isto 3. tractat. 2. text. 35. In quaestione primo videbitur,quibus modis imaginabile est infinitum in magnitudine, et quod impossibile est infinitum esse aliquo dictorum modorum. Secundo videbitur, an illae rationes concludant demonstrative, ita ut infinitum esse implicet contradictionem, vel non, et per hoc patebit ad quaesitum.

Quantum ad primum notandum, quod aliquid potest (a) imaginari infinitum dupliciter. Uno modo secundum omnem dimensionem, ita ut lotum occupet: et hoc dupliciter ; uno modo, quod omnia quae sunt, sunt partes ipsius : alio modo, quod in ipso sit unum foramen, in quo ponuntur alia entia, quae non sunt partes ipsius : sicut si imaginaretur, quod extra caelum esset corpus infinitum, et quod iste mundus esset in quodam foramine ipsius. Secundo modo est imaginabile infinitum secundum unam dimensionem tantum, vel plures, ita quod non totum occupet: et hoc etiam dupliciter. Uno modo, quod illud corpus sit finitum, licet sit infinite longum ; verbi gratia, si primo sit aliquod corpus undique pedale, deinde addatur sibi medietas unius pedis, quae sit induplo longior primo pedali accepto, et proportionaliter minus profunda, et sic in infinitum secundum longitudinem, tunc illud corpus esset infinite longum ; et tamen esset solum finitum, quia undique pedale.

Alio modo, quod sit infinitum, et quod sit extensum secundum unam dimensionem sine termino, et hoc est imaginabile tripliciter : Primo, quod sit unum corpus pedaliter latum, et pedaliter profundum extensum sine termino secundum longitudinem: et hoc dupliciter, quia vel ab una parte tantum, vel ab utraque. Secundo modo, quod primo esset unum corpus pedaliter latum, et pedaliter profundum, et etiam pedaliter longum. Secundo unum aliud aequale secundum longitudinem et profunditatem, quod esset duplo magis latum, et tertio unum aliud magis latum,quod esset in duplo magis latum quam secundum, et sic in infinitum ad modum graduum. Alio modo, quod primo esset unum pedale secundum quamlibet dimensionum trium. Secundo unum aequale, quod esset in duplo magis longum, et sub duplo minus profundum, vel minus latum, et sic in infinitum.

Praemissa hac distinctione, tunc ponendae sunt rationes quibus probatur, quod impossibile est esse magnitudinem infinitam. Prima ratio, quia si esset possibile : sit igitur, quod Deus faciat in una parte proportionali hujus horae unum corpus isti mundo aequale, quod circumdet caelum, et in secunda parte proportionali horae faciat unum aliud sibi aequale, quod circumdet primum, et sic de singulis partibus proportionalibus horae; tunc si hoc sit possibile, sequitur, quod in instanti terminante horam, illud corpus sit infinitum undique occupans totum; quia esset corpus sphaericum compositum ex infinitis aequalibus isti mundo dato, et tamen ante instans terminans horam, nunquam fuit infinitum ; quia semper ante solum erant pertransitae partes proportionales finitae ; et tamen in illo instanti nihil acquiritur, quod videtur imaginabile, videlicet quod aliquid nunc sit infinitum, et semper ante erat finitum, et tamen tunc nihil sibi acquiritur.

Confirmatur, retento eodem casu : quia in instanti terminante horam illud corpus desinit esse figuratum : quia nunc non est figuratum, ex quo est in infinitum undique et immediate ante fuit figuratum; igitur desinit esse figuratum, et tamen nulla figura desinit esse ; quia nec illa, quae fuit in prima parte proportionali horae, nec illa quae fuit in secunda, et sic de aliis ; igitur sequitur contradictio, quod nulla figura desinit esse, quia illud corpus desinit esse figuratum.

Secunda ratio ; quia si sit possibile esse infinitum, sit igitur unum corpus infinitum secundum dimensionem unam tantum, scilicet secundum longitudinem, et quod sit undique pedaliter latum, et pedaliter profundum ; tunc sequitur quod ex isto corpore infinito secundum unam dimensionem tantum, fieret infinitum undique occupans totum,quod est impossibile ; quia ex minori fieret majus sine aliqua quantitate addita. Probatur consequentia , quia amoveat Deus ab isto corpore unum pedale, et fiat separatum ; deinde in secunda parte proportionali horae amoveat aliud pedale, et addatur primo, et ita totum fiat separatum, deinde in tertia addatur iterum pedale, et sic in singulis partibus proportionalibus horae ; tunc in fine horae istud esset infinitum undique, occupans totum, et tamen aliunde non habuit quantitatem,quam ab illo corpore infinito secundum longitudinem tantum ; ergo, etc.

Confirmatur retento eodem casu; posito tamen,quodillud infinitum secundumunam dimensionem terminetur ad centrum terrae ab una parte, et ab alia parte protendatur in infinitum versus Orientem ; tunc sequitur, quod ab isto corpore poterit resecari unum aliud corpus sibi aequale, et tamen ipsum esset tantum, quantum erat prius: consequens est inimaginabile. Consequentia probatur, posito quod unum pedale, quod terminatur ad centrum, removeatur, et ponatur ab alia parte centri versus Occidentem, deinde trahatur illud corpus ad centrum, et sic in infinitum, tunc sequitur propositum. quod illud corpus est tantum, quantum orat prius, et tamen ab ipso reseratum est unum aliud corpus infinitum tantum, quantum ipsum. Tertia ratio, sequeretur quod pars, et lotum essent ad invicem aequales ; quia corpus infinitum occupans totum undique, et infinitum secundum unam dimensionem tantum essent ad invicem aequalia, qui ex illo infinito secundum unam dimensionem tantum fieret, reliquum sine aliqua additione quantitatis, et tamen esset pars ipsius ; ergo, etc.

Confirmatur, imaginando quod sint duae lineae infinitae protensae versus Orientem, una A, quae terminetur ad centrum terrae, et alia B, quae terminetur per pedale circa centrum ad Orientem ; tunc linea B est minor A, scilicet per pedalem quantitatem : tunc ponatur per imaginationem, quod fixo puncto B, linea B imaginetur circumduci ad Occidentem, tunc efficietur major A, de illo pedali, et tamen nihil est sibi additum, quod est impossibile.

Quarta ratio, si esset infinitum undique, sequeretur quod ipsum haberet centrum, et quod nullum haberet centrum ; consequens implicat contradictionem. Probatur consequentia : quia inimaginabite esset, quod illud corpus esset motum circulariter, ut sic ponentes concedunt: igitur illud corpus tunc haberet centrum, circa quod volveretur : sed quod non haberet, probatur : quia ex quo esset infinitum undique, qua ratione signaretur centrum in uno puncto, eadem ratione in quolibet.

Quinto, sequeretur quod infinitum esset figuratum ; consequens est impossibile, quia tunc esset terminatum. Probatur consequentia, quia sicut imaginamur in tertio modo, si esset unum corpus pedaliter latum, et pedaliter profundum.

Sexta ratio, imaginetur linea A, sicut prius exiens a centro terrae in infinitum versus Orientem: et linea B,aeque distans, tunc imaginetur linea A, circumvolvi successive, tunc sequitur quod subito pertransibit spatium inter A et B, quia ex quo nunc est aequedistans,et immediate post non estaeque distans,cum ambae sint in infinitum protensae, sequitur quod immediate post hoc ambae co neurrent.

Quantum ad secundum, notandum, quod quaedam est magnitudo recta, quaedam curva, vel circularis, sive composita ex pluribus rectis : et licet aliquando improprie sumantur dimensiones, penes lineam curvam, verbi gratia, dicimus quod arcus est longior chorda, tamen proprie cujuslibet magnitudinis dimensio sumenda est penes lineam rectam, ita ut quodlibet est ita longum sicut linea recta protensa de termino ejus ad terminum illius, et ideo dicit Aristoteles 2. Caeli, text. 14. quod longitudo caeli est axis corporis mundi. Ex quo patet, cum dimensio corporis sphaerici sumenda sit penes lineam rectam, et non per circularem, multo fortius in aliis corporibus.

Nunc ponuntur conclusiones. Prima conclusio: de facto est aliqua linea curva infinita. Probatur, quia in qualibet superficie sunt infinitae lineae aequales alicui lineae tertiae datae ; igitur cum ex eis per incurvationem possit fieri una linea curva, imo de facto sit una linea curva ; sequitur quod illa de facto sit infinita. Tenet consequentia; quia infinitum est,quod est compositum ex infinitis aequalibus alicui tertio dato ;et antecedens patet, imaginando superficiem dividi in infinitum per partes ( ) proportionales, et patet per primum argumentum ante oppositum. Ex quo patet, quod est aliqua linea curva, quae si esset rectificata, esset actu infinita.

Contra objicitur, ponatur igitur quod sint duae tales lineae A, B, sibi invicem suprapositae terminatae ab una parte aequaliter, et ab alia parte protensae in infinitum, tunc a linea B, abscindatur unum pedale ; tunc per illud principium, Quaecumque sunt sibi invicem supraposita, sunt (c) aequalia, A est major B, tunc trahatur B, aequaliter ad punctum A, per idem principium sequitur, quod sunt aequales ; igitur sequitur impossibile, quia quae primo erant inaequalia, erunt aequalia sine additione novae quantitatis, vel etiam remotione. Respondetur, quod illud principium, quaecumque sunt sibi invicem supraposita, etc. solum intelligitur in quantitatibus finitis, et non in infinitis : quia unum infinitum non est aequale alteri.

Secunda conclusio. De facio est aliqua superficies infinita. Probatur imaginando aliquam superficiem circumdare aliquas partes proportionales continui, eo modo quo prius imaginabatur de linea.

Tertia conclusio, possibile est esse aliquod corpus actu infinitum : et licet Aristoteles non posuisset istam, hoc fuit, quia non percepit potentiam activam infinitam, qualem esse nos credimus ex fide : et ista conclusio non potest probari, nisi quia ad istam positionem non sequitur impossibile, vel contradictio ; ut patebitsolvendo rationes, et hoc isto modo ; quia de qualibet ostenditur, vel quod non valet consequentia, vel quod consequens non sit impossibile. Utrum autem de facto sit aliquod corpus infinitum, vel non, vel utrum possit esse per agens naturale, videbitur in alia quaestione.

Ad rationes. Ad primam, concedo consequentiam, et dico, quod consequens non est inconveniens, scilicet quod nunc illud corpus sit infinitum, et nunquam ante fuit infinitum, et tamen nunc nihil acquirit: verbi gratia, in consimili, imaginetur aliquod continuum dividi in partes proportionales in infinitum, supra quod moveatur aliquod mobile per horam ; tunc in fine horae verum est dicere quod infinitae partes proportionales sunt pertransitae ab isto mobili, et semper ante solum erant finitae pertransitae, et tamem in fine horae nulla pars pertransitur.

Ad confirmationem concedo, quod illud corpus desinit esse figuratum ; et tamen nulla figura desinit esse. Nec ista consequentia valet, hoc corpus desinit esse figuratum ;ergo aliqua figura desinit esse.

Ad secundam, dico quod consequens non est inconveniens, imo ex quolibet infinito possent fieri infinities infinita, et tali modo possent replicari partes, quod ex eis fieret infinitum undique, sicut in illo casu. Item aliter possent fieri infinities infinita,et apponi simul,ex quibus tamen nunquam resultaret infinitum undique: verbi gratia,si esset una columna infinita,deinde sumeretur alia tanta,et superponeretur primae, et tertia Secundae, et sic in infinitum. Et consimiliter conceditur consequens confirmationis : verbi gratia in exemplo prius posito,si continuum dividatur ininfinitum per imaginationem, tunc sunt ibi infinitae partes sic computando, una,duae, tres, quatuor, et sic in infinitum. Item dimissis omnibus imparibus,et computatis partibus solum,ut duo,quatuor, sex, octo , etc, resultat numerus infinitus. Item ex imparibus dimissis paribus,et sic ex uno numero infinito possunt resultare infinities infiniti numeri. Et eodem modo ex una magnitudine infinita possunt resultare infinities infinitae magnitudines.

Ad tertium, dico quod in infinito non est totum, et pars, sed bene in finito.Unde uno modo dicitur totum, quod continet aliquid, et plus ; et isto modo unum infinitum bene est totum respectu alterius,vel melius loquendo illud dicitur totum respectu alterius quod continet illud et aliud, rac in infinito bene inveniuntur totum et pars. Alio modo, quod totum contineat aliquod, quod excedat in quantitate, et ad quod habeat proportionem majoris inaequalitatis, et sic totum et pars inveniuntur solum in quantitatibus finitis, et de talibus ponitur illud principium, omne totum est majus sua parte.

Ad quartum,dico quod si esset unum corpus infinitum undique, ubique esset centrum ejus. Et ideo quidam definientes Deum dixerunt, quod Deus est sphaera, cujus centrum est ubique, circumferentia vero nusquam.

Ad quintum, respondetur quod aliquid dicitur figuratum dupliciter, uno modo improprie, quod est terminatum ab aliqua, vel aliquibus partibus, licet non a qualibet, et isto modo diceremus, quod superficies contenta inter duas lineas egredientes a centro circuli, ad circumferentiam protensa in infinitum est figurata : sic etiam diceremus, quod columna protensa in infinitum haberet figuram columnarem. Alio modo dicitur figuratum proprie, quod a qualibet parte est terminatum : et sic capit Euclides, quando dicit nullas duas lineas rectas superficiem concludere, et etiam in definitione figurae, quod figura est quae termino, vel terminis clauditur ; tunc dico, quod nullum infinitum est figuratum proprie : tamen infinitum secundum unam dimensionem potest esse figuratum primo modo.

Ad sextum, concedo casum, et negatur consequentia, quod aliqua distantia subito pertranseatur. Unde notandum, quod distantia inter A, et B, accipitur dupliciter : uno modo pro linea recta protracta inter A, et B, quae perpendiculariter cadit super utramque, ex quo sunt aeque distantes ; et tunc certum est, quod talis linea pertransitur successive. Alio modo pro totali spatio inter A, et B, lineas, scilicet pro illa superficie protensa in infinitum : et tunc dico, quod illa tota superficies, et quaelibet pars ejus pertransitur successive. Cum hoc etiam concedo, quod immediate post initium motus est pertransitum spatium infinitum, nullum tamen subito, sed successive : verbi gratia, .in exemplo imaginato continuum dividi infinitum per partes pro. portionales, et incipit aliquid mobile moveri a partibus minoribus versus majores, tunc in principio motus verum est dicere immediate post hoc infinitae partes proportionales erunt pertransitae, et tamen quaelibet pertransibitur successive.

De rationibus ante oppositum, quae probant veritatem, et quae non, dicetur in alia quaestione.

ANNOTATIONES

(a) Aliquid potest imaginari infinitum dupliciter. Nota, quod Scotus in hac quaestione loquitur secundum Mathematicorum imaginationem, et non realiter et physice : nam multa quae in hac quaestione tanquam certa supponuntur, Physicus non admitteret quae tamen admittit Mathematicus.

(b) Superficies potest dividi in infinitum in paries proportionales. Nota, quod in continuo duplices possunt imaginari partes, quaedam ejusdem proportionis ; quaedam vero ejusdem quantitatis. Partes ejusdem proportionis sunt partes sic se habentes, quod eadem est proportio primae ad secundam, quae est secundae ad tertiam, et sic in infinitum ; secundum enim has partes potest continuum in infinitum secari, et nunquam consummabitur per talium partium ablationem : verbi gratia, si quoddam continuum bipedale dividatur in duas medietates pedales, et aliquam illarum dividas in alias duas medielates,et ex illis alteram in alias duas, et sic in infinitum ; haec divisio fit secundum proportionem, quia partes semper servant duplam proportionem. Partes ejusdem quantitatis adhuc sunt duplices : aliae sunt ejusdem quantitatis non communicantes ; aliae ejusdem quantitatis communicantes. Partes aequales non communicantes ejusdem quaniitatis sunt, quarum una nihil habet alterius, ut si detur quoddam continuum decupedale, et dividatur in decem partes pedales, erunt quidemaequales,neutraque aliquid alterius participabit. Partes hujusmodi non possunt infinitae reperiri in aliquo creato,quia tales erunt necessario finitae, et tandem per ablationem talium partium consumetur. Partes aequales communicantes sunt, quarum una recipit aliquid alterius, ut, verbi gratia, si detur continuum bipedale ultra duas partes pedales non communicantes, quas habet, dabuntur aliae quamplurimae, imo infinitae partes aequales communicantes ; dabitur enim una medietas, et ex parte istius,et residuo alterius alia pars aequalis, et rursus ex parte istius, et alterius residuo alia pars aequalis, et sic in infinitum ; et hujusmodi partes possunt inveniri infinitae in continuo. (c)Quaecumque sunt sibi invicem supraposita, etc. Haec littera nobis visa est manca, et imperfecta, ideo ita judicavimus supplendum esse, ut in hunc modum legatur: Quaecumque sunt sibi invicem supraposita sunt aequalia, A, et B sunt aequales, et per casum, A est major B, eo quod a D abscissum est unum pedale, modo trahatur B aequaliter ad punctum, tunc per idem principium sequitur, quod A, et B sunt aequales ; igitur sequitur impossibile, etc.