ἐκκειμένοις ἡμῖν ὅροις τοὺς ἐπιτρίτους λόγους εἴς τε τοὺς ἐπογδόους καὶ τὰ λείμματα διελεῖν, μέχρι τούτων ἂν ἔστημεν. νῦν δέ (οὐ γὰρ οἷόν τε) δι' ἄλλης ἰτέον μεθόδου. Προκείσθω οὖν ἐξ ἀρχῆς καταπυκνῶσαι τὸν διπλάσιον λόγον ταῖς εἰρημέναις μεσότησι καὶ τοῖς ἐπογδόοις. δεήσει ἄρα τὸν ὑπόλογον τοῦ διπλασίου τοιοῦτον λαβεῖν, ὥστε εἶναι αὐτοῦ καὶ δύο ἐπογδόους καὶ ἐπίτριτον ἄλλον. εἰλήφθω οὖν πρῶτον ὁ τρίτος ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸν ὀκταπλάσιον λόγον, ὁ ˉξˉδ. ἀπὸ τούτου δύο μὲν ἐπογδόους ἀποστῆσαι δυνατόν· ἅπας γὰρ πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγεῖται λόγων ἀντιπαρωνυμούντων αὐτῷ, ὁπόστος ἐστὶν ἀπὸ μονάδος· ἐπίτριτον δὲ οὐκ ἔστι. τριπλασιάσας οὖν αὐτὸν ποιῶ τὸν ˉρˉϟˉβ, οὗ ἐπίτριτος μὲν ὁ ˉσˉνˉϛ, ἐπόγδοος δὲ ὁ ˉσˉιˉϛ, καὶ τούτου ἐπόγδοος ὁ ˉσˉμˉγ. ὁ ἄρα τοῦ λείμματός ἐστι λόγος ὁ μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν τοῖν δυοῖν ἐπογδόοιν λειπόμενος ˉσˉμˉγ πρὸς τὰ ˉσˉνˉϛ· ἀπὸ παντὸς γὰρ ἐπιτρίτου δύο ἐπογδόων ἀφαιρεθέντων καταλείπεται ὁ τοῦ λείμματος λόγος. ἀλλὰ τοῦ ˉσˉνˉϛ ἐπόγδοος ὁ ˉσˉπˉη, ὃς τὴν ἁρμονικὴν σῴζει μεσότητα τεταγμένος μεταξὺ τοῦ ˉρˉϟˉβ καὶ τοῦ ˉτˉπˉδ διπλάσιον πρὸς τὸν ˉρˉϟˉβ λόγον ποιοῦντος, πρὸς δὲ τὸν ˉσˉπˉη ἐπίτριτον. εἰ μὲν οὖν ἦν δυνατὸν ἀποστῆσαι δύο ἐπογδόους ἀπὸ τοῦ ˉσˉπˉη, κατεπυκνώσαμεν ἂν καὶ τοῦτο τὸ ἐπίτριτον τοῖς τε ἐπογδόοις καὶ τῷ λείμματι. νῦν δὲ οὐχ οἷόν τε· ὁ γὰρ ἐπόγδοος αὐτοῦ ὁ ˉτˉκˉδ ὄγδοον οὐκ ἔχει· διὸ πρὸς αὐτὸν ἐπόγδοον γενέσθαι λόγον οὐ δυνατὸν τοῖς ἄτμητον τὴν μονάδα φυλάττειν ἀεὶ βουλομένοις· τὸ γὰρ ὄγδοόν ἐστιν αὐτοῦ μ διπλασιάσαντες οὖν αὐτόν, ἵνα τὸ ἥμισυ ὅλον ποιήσωμεν, ἕξομεν καὶ αὐτοῦ λαβεῖν ἐπόγδοον. ἀναγκασθησόμεθα δὲ διὰ τούτου καὶ τοὺς πρὸ αὐτοῦ διπλασιάσαι πάντας καὶ τοὺς μετ' αὐτόν. ἔσται οὖν ἀντὶ μὲν σοῦ ˉρˉϟˉβ ὁ ˉτˉπˉδ ἀντὶ τοῦ ˉσˉιˉϛ ὁ ˉυˉλˉβ, αἀντὶ δὲ του ˉσˉμˉγ ὁ ˉυˉπˉϛ, ἀντὶ δὲ τοῦ ˉσˉνˉϛ ὁ ˉφˉιˉβ, ἀντὶ δὲ τοῦ ˉσˉπˉη ὁ ˉφˉοˉϛ· καὶ τούτου ἐπόγδοος ὁ ˉχˉμˉη, καὶ τούτου ἐπόγδοος ὁ ˉψˉκˉθ, ἔπειτα ὁ ˉψˉξˉη διπλάσιος μὲν ὢν τοῦ ˉτˉπˉδ, πρὸς δὲ τὸν ˉψˉκˉθ ὁ λόγον ἔχων τὸν τοῦ λείμματος. καὶ οὕτω δὴ συμπεπλήρωται τὸ διπλάσιον διάστημα τοῖς τε ἡμιολίοις καὶ ἐπιτρίτοις καὶ ἐπογδόοις λόγοις ἐν τοῖσδε τοῖς ἀριθμοῖς· ˉτˉπˉδ, ˉυˉλˉβ, ˉυˉπˉϛ, ˉφˉιˉβ, ˉφˉοˉϛ, ˉχˉμˉη, ˉψˉκˉθ, ˉψˉξˉη. εἰ οὖν ἐθελήσαιμεν ὅλον συμπληρῶσαι τὸ διάγραμμα, ἐκθήσο6 μεν κατὰ τὸ ἑξῆς ἀντὶ μὲν τῆς πρώτης μοίρας τὸν ˉτˉπˉδ, ἀντὶ δὲ τῆς διπλασίας ταύτης τὸν ˉψˉξˉη, ἀντὶ δὲ τῆς τριπλασίας μὲν τῆς πρώτης, ἡμιολίας δὲ τῆς δευτέρας τὸν ˉ#ˉ2ˉ2ˉαˉρˉνˉβ, ἀντὶ δὲ τῆς τετραπλασίας τῆς πρώτης τὸν ˉ#ˉ2ˉ2ˉαˉφˉλˉϛ, ἀντὶ δὲ τῆς πέμπτης, ἥ ἐστι τριπλασία τῆς τρίτης, τὸν ˉ#ˉ2ˉ2ˉγˉυˉνˉϛ, ἀντὶ δὲ τῆς ἕκτης, ἥ ἐστιν ὀκταπλασία τῆς πρώτης, τὸν ˉ#ˉ2ˉ2ˉγˉοˉβ, ἀντὶ δὲ τῆς ἑβδόμης, ἥ ἐστιν ἑπτακαιεικοσαπλασίων τῆς πρώτης, τὸν ˉ#ˉ2ˉ2ˉαˉτˉξˉη. εἰ δ' οὖν ἐθελήσαιμεν τούσδε καταπυκνῶσαι ταῖς τε ἁρμονικαῖς καὶ ταῖς ἀριθμητικαῖς μεσότησιν, αἳ παρεντεθεῖσαι τά τε ἡμιόλια καὶ ἐπίτριτα διαστήματα ποιήσουσιν, ἔσονται, ἵνα μίαν ἐρῶ μεσότητα, μεταξὺ τοῦ ˉτˉπˉδ καὶ τοῦ ˉψˉξˉη διπλασίου ὅ τε ˉφˉιˉβ ποιῶν τὴν ἁρμονικὴν μεσότητα καὶ ὁ ˉφˉοˉϛ τὴν ἀριθμητικήν. ἴσθι καὶ τοῦτο, ὅτι οὐδεὶς ἐπιμόριος λόγος εἰς ἴσους τέμνεσθαι δύναται· τὸ γοῦν ἡμιτόνιον ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστι λαβεῖν, ἀλλ' ἐν μέσῳ εὑρίσκεται τοῦ ἑπτακαιδεκάτου καὶ τοῦ ἑκκαιδεκάτου λόγου· καί ἐστιν ὁ ἑπτακαιδέκατος μείζων τοῦ καλουμένου λείμματος, ὃς ἦν ἐλάττων τοῦ ἀκριβῶς ἡμιτονίου. Ἡ μὲν οὖν κρύφιος τῆς Πλατωνικῆς ψυχογονίας ἐξήγησις ἄλλη· ἡ δὲ μαθηματικὴ αὕτη. Ἑτέρας Πλατωνικῆς διανοίας ἐξήγησις ἀπὸ τοῦ Τιμαίου Ἐρᾷς τῆς Πλατωνικῆς ἀκορέστως πηγῆς. ἔτι γὰρ πλήρης ὢν τοῦ νάματος καὶ ἐπιχειλὴς τῆς ἐκείνου σοφίας, αὖθις ἀπὸ τῆς αὐτοῦ ὀρέγῃ πιεῖν. ζητεῖς γάρ, τί ποτε καὶ ταῦτά ἐστι· «ταύτην οὖν τὴν σύστασιν (περὶ τοῦ δημιουργοῦ λέγων ὁ Πλάτων) διπλῆν κατὰ μῆκος