Lectio 10

Postquam philosophus disputative processit de infinito, hic incipit determinare veritatem.

Et primo ostendit an sit infinitum; secundo quid sit, ibi: accidit autem contrarium etc..

Prima dividitur in duas: in prima ostendit quomodo infinitum sit; in secunda comparat diversa infinita ad invicem, ibi: aliter autem et in tempore etc..

Circa primum tria facit: primo ostendit quod infinitum quodammodo est, et quodammodo non est; secundo determinat quod est in potentia, et non est sicut actu ens, ibi: dicitur igitur etc.; tertio manifestat quomodo sit in potentia, ibi: non oportet autem potentia ens etc..

Dicit ergo primo quod ex praemissis manifestum est, quod non sit aliquod corpus infinitum in actu. Item ex iis quae ante dicta sunt, manifestum est quod si infinitum simpliciter non sit, quod multa impossibilia accidunt. Quorum unum est quod tempus habebit principium et finem: quod reputatur inconveniens secundum ponentes aeternitatem mundi.

Et iterum sequetur quod magnitudo non semper sit divisibilis in magnitudines, sed quandoque deveniatur per divisionem magnitudinum ad quaedam quae non sunt magnitudines: sed omnis magnitudo est divisibilis.

Item sequetur quod numerus non augeatur in infinitum.

Quia igitur secundum determinata neutrum videtur contingere, neque scilicet quod infinitum sit actu, neque quod simpliciter non sit; necesse est dicere quod quodammodo est, quodammodo non est.

Deinde cum dicit: dicitur igitur esse aliud etc., ostendit quod infinitum est sicut potentia ens.

Et dicit quod aliquid dicitur esse in actu, et aliquid dicitur esse in potentia. Infinitum autem dicitur esse per appositionem, sicut in numeris, vel per ablationem, sicut in magnitudinibus.

Ostensum est enim quod magnitudo non est actu infinita; et sic in magnitudinibus per appositionem infinitum non invenitur, sed per divisionem in eis invenitur infinitum. Non enim est difficile destruere opinionem ponentium indivisibiles esse lineas.

Vel, secundum aliam litteram: non est difficile partiri atomos lineas, idest ostendere lineas, quas quidam ponunt indivisibiles, esse partibiles. Dicitur autem infinitum in appositione vel divisione, secundum quod potest apponi vel dividi. Relinquitur igitur quod infinitum sit tanquam in potentia ens.

Deinde cum dicit: non oportet autem potentia ens etc., ostendit quomodo infinitum sit in potentia.

Dupliciter enim invenitur aliquid in potentia.

Uno modo sic quod totum potest reduci in actum, sicut possibile est hoc aes esse statuam, quod aliquando erit statua; non autem sic dicitur esse infinitum in potentia, quod postea totum sit in actu. Alio modo aliquid dicitur in potentia esse, quod postea fit actu ens, non quidem totum simul, sed successive.

Multipliciter enim dicitur aliquid esse: vel quia totum est simul, ut homo et domus; vel quia semper una pars eius fit post aliam, per quem modum dicitur esse dies et ludus agonalis.

Et hoc modo dicitur infinitum esse simul et in potentia et in actu: omnia enim huiusmodi simul sunt in potentia quantum ad unam partem, et in actu quantum ad aliam.

Olympia enim, idest festa agonalia quae celebrabantur in monte Olympo, dicuntur esse et durare secundum agones posse fieri et fieri in actu: quia quamdiu durabant ista festa, aliqua pars illorum ludorum erat in fieri, et aliqua erat ut in futurum fienda.

Deinde cum dicit: aliter autem et in tempore etc., comparat diversa infinita ad invicem.

Et primo comparat infinitum temporis et generationis, infinito quod est in magnitudinibus; secundo comparat infinitum secundum appositionem et infinitum secundum divisionem in magnitudinibus, ibi: quod autem secundum appositionem etc..

Circa primum tria facit.

Primo proponit quod intendit: et dicit quod aliter manifestatur infinitum in generatione hominum et in tempore, et aliter in divisione magnitudinum.

Secundo ibi: omnino quidem enim sic est etc., ostendit quid sit commune omnibus infinitis.

Et dicit quod hoc omnino et universaliter in omnibus infinitis invenitur, quod infinitum est in semper aliud et aliud accipiendo secundum quandam successionem, ita tamen quod quidquid accipitur in actu de infinito, totum sit finitum.

Unde non oportet accipere quod infinitum sit aliquid totum simul existens, sicut hoc aliquid demonstratum, sicut accipimus hominem vel domum; sed sicut sunt successiva, ut dies et ludus agonalis, quorum esse non est hoc modo quod aliquid eorum sit sicut quaedam substantia perfecta tota actu existens.

In generatione autem et corruptione, etsi in infinitum procedatur, semper illud quod accipitur in actu, est finitum. In toto enim decursu generationis, etiam si procedatur in infinitum, et omnes homines qui simul actu accipiuntur, sunt finiti secundum numerum, et huiusmodi finitum oportet accipere alterum et alterum, secundum quod quidam homines succedunt quibusdam.

Tertio ibi: sed in magnitudinibus etc., ostendit differentiam.

Et dicit quod illud finitum quod accipimus in magnitudinibus, vel apponendo vel dividendo, permanet et non corrumpitur: sed illa finita quae accipiuntur in infinito decursu temporis et generationis humanae corrumpuntur; ita quod per istum modum non contingat tempus et generationem deficere.

Deinde cum dicit: quod autem secundum appositionem etc., comparat duo infinita quae sunt in magnitudinibus, scilicet secundum appositionem et secundum divisionem.

Et circa hoc tria facit: primo ponit convenientiam inter utrumque infinitum; secundo ostendit differentiam, ibi: non tamen excellit etc.; tertio infert quandam conclusionem ex dictis, ibi: quare excellere etc..

Dicit ergo primo quod quodammodo infinitum secundum appositionem est idem cum infinito secundum divisionem; quia infinitum secundum appositionem fit e converso cum infinito secundum divisionem. Secundum enim quod aliquid dividitur in infinitum, secundum hoc in infinitum videtur posse apponi ad aliquam determinatam quantitatem.

Manifestat igitur quomodo sit infinitum divisione in magnitudine.

Et dicit quod si aliquis in aliqua magnitudine finita, accepta aliqua parte determinata per divisionem, semper accipiat dividendo alias partes secundum eandem rationem, idest proportionem, sed non secundum eandem quantitatem in eadem proportione, non pertransibit dividendo illud finitum; puta si a linea cubitali accipiat medietatem, et iterum a residuo medietatem; et sic in infinitum procedere potest. Servabitur enim in subtrahendo eadem proportio, sed non eadem quantitas subtracti; minus est enim secundum quantitatem dimidium dimidii quam dimidium totius.

Sed si semper sumeret eandem quantitatem, oporteret quod semper magis ac magis augeretur proportio. Puta si a quantitate decem cubitorum subtrahatur unus cubitus, subtractum se habet ad totum in subdecupla proportione: si autem iterum a residuo subtrahatur unus cubitus, subtractum se habebit in maiori proportione; minus enim unus cubitus exceditur a novem quam a decem. Sicut igitur servando eandem proportionem diminuitur quantitas, ita sumendo eandem quantitatem augetur proportio. Si ergo aliquis sic subtrahendo ab aliqua magnitudine finita, semper augeat proportionem sumendo eandem quantitatem, transibit dividendo magnitudinem finitam; puta si a linea centum cubitorum semper subtrahat unum cubitum. Et hoc ideo est, quia omne finitum consumitur quocumque finito semper accepto.

Aliter igitur infinitum non est secundum divisionem, nisi in potentia, quod tamen simul est actu cum potentia, sicut dictum est de die et de agone. Et cum infinitum sit semper in potentia, assimilatur materiae, quae est semper in potentia; et non est per se existens in actu totum, sicut finitum est in actu. Et sicut infinitum secundum divisionem est in potentia cum actu simul, similiter dicendum est de infinito secundum appositionem, quod quodammodo est idem cum infinito secundum divisionem, ut dictum est. Inde autem manifestum est quod infinitum per appositionem est in potentia, quia semper contingit aliquid aliud accipere apponendo.

Deinde cum dicit: non tamen excellit etc., ostendit differentiam inter infinitum secundum appositionem et infinitum secundum divisionem.

Et dicit quod infinitum per appositionem non excedit in maius omnem magnitudinem finitam datam; sed infinitum secundum divisionem excedit omnem determinatam parvitatem in minus.

Accipiamus enim aliquam determinatam parvitatem, puta unius digiti: si lineam centum cubitorum dividam in infinitum, accipiendo semper dimidium, venietur ad aliquid minus uno digito.

Sed apponendo in infinitum, e contrario divisioni, erit dare aliquam quantitatem finitam quae nunquam pertransibitur. Dentur enim duae magnitudines, quarum utraque sit decem cubitorum, et tertia quae sit viginti.

Si igitur id quod subtraho in infinitum, accipiendo semper dimidium ab una magnitudine decem cubitorum, addatur alteri quae etiam est decem cubitorum, nunquam pervenietur in infinitum apponendo ad mensuram quantitatis quae est viginti cubitorum: quia quantum remanebit in magnitudine cui subtrahitur, tantum deficiet a data mensura in quantitate cui addetur.

Deinde cum dicit: quare excellere omne etc., inducit conclusionem ex dictis.

Et primo inducit eam; secundo manifestat per dictum Platonis, ibi: quoniam et Plato etc..

Dicit ergo primo quod ex quo appositio in infinitum non facit transcendere omnem determinatam quantitatem, non est possibile esse, nec etiam in potentia, quod excellatur omnis determinata quantitas per appositionem.

Quia si esset in natura potentia ad appositionem transcendentem omnem quantitatem, sequeretur quod esset actu infinitum; sic quod infinitum esset accidens alicui naturae, sicut naturales philosophi extra corpus huius mundi quod videmus, ponunt quod est quoddam infinitum, cuius substantia est aer vel aliquid aliud huiusmodi. Si ergo non est possibile esse corpus sensibile actu infinitum, ut ostensum est, sequitur quod non sit potentia in natura ad appositionem transcendentem omnem magnitudinem; sed solum ad appositionem infinitam per contrarium divisioni, ut dictum est. Quare autem si esset potentia ad infinitam additionem transcendentem omnem magnitudinem, sequatur esse corpus infinitum in actu, non autem ad additionem infinitam in numeris, transcendentem omnem numerum, sequatur esse numerum infinitum in actu, infra ostendetur.

Deinde cum dicit: quoniam et Plato propter hoc etc., manifestat quod dixerat per dictum Platonis.

Et dicit quod quia infinitum in appositione magnitudinum est per oppositum divisioni, propter hoc Plato duo fecit infinita, scilicet magnum, quod pertinet ad additionem, et parvum quod pertinet ad divisionem; quia scilicet infinitum videtur excellere et per additionem in augmentum, et per divisionem in decrementum, vel tendendo in nihil.

Sed cum ipse Plato faciat duo infinita, non tamen utitur eis: quia cum numerum poneret substantiam esse omnium rerum, in numeris non invenitur infinitum per divisionem, quia in eis est minimum unitas; neque etiam per additionem secundum ipsum, quia dicebat quod species numerorum non variantur nisi usque ad decem, et postea reditur ad unitatem, computando undecim et duodecim etc..